线性系统之状态空间描述

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1、78自動控制§2-3線性系統之狀態空間描述上一節介紹以轉移函數來描述動態系統，本節接著說明如何以狀態空間來描述動態系統。以狀態空間來描述控制系統時，免不了會進行許多線性代數的操作與運算，底下先複習有關線性代數的基本定義知識，接著再針對控制系統的狀態空間描述與求解，及與轉移函數間的關係加以介紹與說明。2-3-1線性代數基礎本小節將複習線性代數的基礎知識，同時介紹一些以前較少接觸，但與控制系統狀態空間描述有關的矩陣的知識，內容中有些觀念是學習本章所必須具備的，有一部份則是在第九章中才會使用到，不過為了完整性，一併在本小節中先作說明。向量(Vector)首先介紹向量的表示

2、法。我們稱x為一n維的向量，表示向量x有n個分量，並可記為⎡x1⎤⎢⎥xx=⎢2⎥⎢M⎥⎢⎥x⎣n⎦其中x可為實數(記為x∈R)或複數(記為x∈C)。因此，n維實數向量x亦iiin可記為x∈R。第二章系統模型之建立與數學描述79矩陣(Martix)矩陣的表示法與向量相似，事實上，矩陣也可以視為一群向量的組合，我們稱A為m×n的矩陣，表示矩陣A有m列和n行，並可記為⎡a11a12La1n⎤⎢⎥aaLaA=⎢21222n⎥⎢MMOM⎥⎢⎥aaLa⎣m1m2mn⎦或記為A=[a],i=1,2,...,m,i=1,2,...,nijm×n其中a∈R或a∈C。因此，m×n的矩

3、陣A亦可表為A∈R或ijijm×nA∈C。矩陣的秩(Rank)矩陣A的秩,記為rank(A),定義為以矩陣A的行向量作線性組合後所能構成的子空間的最大維度。【例2-22】：討論矩陣A的秩⎡111⎤⎢⎥A=123⎢⎥⎢⎣012⎥⎦因為組成矩陣A的行向量有下面的關係80自動控制⎡1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥3=(−1)1+22,⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣2⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎢⎣1⎥⎦即任一行向量為其他兩行向量的線性組合，又任兩個行向量間並沒有比例關係，因此可以得知矩陣A的秩為rank(A)=2對角矩陣(Diagonalmatrix)n×n若矩陣D=[d]∈C的非對角線元素均為0，即

4、ijd=0,i≠j,i,j=1,2,...,n,ij則稱矩陣D為對角矩陣。單位矩量(Identitymatrix)單位矩量I定義為對角線元素為1，其餘元素為0的矩陣。⎡100L0⎤⎢⎥010L0⎢⎥I=⎢00OM⎥⎢⎥MMO0⎢⎥⎢⎣00K01⎥⎦轉置矩陣(Transposeofmatrix)m×nTTn×m矩陣A=[a]∈R的轉置矩陣記為A，定義為A=[a]∈R。ijji第二章系統模型之建立與數學描述81對稱矩陣(Symmetrymatrix)m×nT若矩陣A=[a]∈R滿足A=A，則稱A為對稱矩陣。ij【例2-23】：⎡100⎤⎢⎥(1)I=010為3×3的單位

5、矩陣，一般可將n×n的單位矩陣記為I。3⎢⎥n⎢⎣001⎥⎦⎡1000⎤⎢⎥0200(2)D=⎢⎥為4×4的對角矩陣。⎢0000⎥⎢⎥⎣0003⎦⎡14⎤⎡123⎤T⎢⎥(3)A=⎢⎥的轉置矩陣為A=25⎣456⎦⎢⎥⎢⎣36⎥⎦⎡123⎤⎢⎥(4)A=234為對稱矩陣。⎢⎥⎢⎣345⎥⎦行列式(Determint)n×n矩陣A=[a]∈C的行列式值det(A)定義為ijnni+ji+jdet(A)=∑(−1)aijdet(Aij)=∑(−1)aijdet(Aij)j=1i=182自動控制其中A表示從原矩陣A除去第i列及第j行所有元素後所成的次矩陣(sub-ijm

6、atrix)【例2-24】：147計算行列式258的值？369【解】：對第一列(1,4,7)展開，1475828251+11+21+3258=(−1)(1)+(−1)(4)+(−1)(7)693936369=(45−48)+(−1)(4)(−6)+(7)(12−15)=0反矩陣(Inverseofmatrix)n×n−1n×n矩陣A=[a]∈C有反矩陣，表示存在一矩陣A∈C，可以滿足ij−1−1AA=I，而矩陣A即稱為A的反矩陣，−11A=adj(A)det(A)其中adj(A)稱為矩陣A的伴隨矩陣(adjointmatrix)，且定義為[i+j]adj(A)=(

7、−1)det(Aji)【例2-25】：計算矩陣A的反矩陣第二章系統模型之建立與數學描述83⎡110⎤⎢⎥A=2−20⎢⎥⎢⎣001⎥⎦【解】：110det(A)=2−20=−4001T⎡−20202−2⎤1+11+21+3⎢(−1)(−1)(−1)⎥010100⎢⎥⎢2+1102+2102+311⎥adj(A)=⎢(−1)(−1)(−1)⎥010100⎢⎥⎢3+1102+3103+311⎥(−1)(−1)(−1)⎢⎣−20202−2⎥⎦T⎡−2−20⎤⎡−2−10⎤⎢⎥⎢⎥=−110=−210⎢⎥⎢⎥⎢⎣00−4⎥⎦⎢⎣00−4⎥⎦⎡0.50.250⎤−1adj