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1、郑州大学研究生课程（2009-2010学年第一学期）数值分析NumericalAnalysis第四章数值微分与数值积分第四章数值微分与数值积分§4.1问题提出§4.2差商型数值微分§4.3插值型数值微分§4.4数值积分的一般问题§4.5Newton-Cotes数值积分公式§4.6复化求积方法§4.7Romberg积分§4.8Gauss型积分2/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis§4.1问题提出★求导运算的理论解决⎧fxhfx()(+−)⎪limhh→0⎪⎪fxfxh()−−()fx′(
2、)=⎨limh⎪h→0⎪fxhfxh()()+−−⎪lim2h⎩h→0结合各类求导运算法则可求基本初等函数在其定义域上任一点的导数。3/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis§4.1问题提出★求积分运算的理论解决牛顿莱布尼兹公式−b∫f()xdxFbFa=−()()a各种积分法的综合运用。4/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis§4.1实际情况:★函数f()x的表达式是未知的，在工程实际问题中通常是以离散点的形式给出。无法使用微积分中的理
3、论结果。★原函数Fx()难以求出，或者其形式非常复杂，给计算带来不便。5/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis§4.1例4.1.1原函数难以求出的定积分例子.π22椭圆积分L=−41s∫adinθθ；012−x正态分布概率密度函数∫edx022sinx13−x2sinx,cosx,,,1+x,exlnx6/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis§4.1问题提出:已知函数fxn()在+=1个点的值xyi(0,1,"n),试近似求ii（1）f
4、x()在点(xyi,)(0,1,="n)的一阶、二阶导数值；ii（2）fx()在区间[,](abaxbx==,)上的积分值；0n并分析近似值的截断误差。7/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis§4.2差商型数值微分（等距节点）将区间[,]ab等分为份，nxaih=+i4.2.1显格式是等距节点，hban=−()/是步长。¾导数与差商的关系⎧fxhfx()(+−)⎪limhh→0⎪⎪fxfxh()−−()fx′()=⎨limh⎪h→0⎪fxhfxh()()+−−⎪lim2h⎩h→0数值微分
5、取为导数的近似值，即差商。8/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格式向前差商f()(xh+−fx)iifx'()≈ihxixi+h9/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格式由Taylor展开2hf(xh+=)f()xh+f'()x+f''(),ξξxx≤≤+hiiiii2!因此，有误差fxhfx()(+−)hiiR()xfx=−'()=−f''()ξ=O()hih2!10/139郑州大学研究生2009-201
6、0学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格式向后差商f()(xf−−xh)iifx'()≈ihx-hxii11/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格式由Taylor展开2hf(xh−=)f()xh−f'()x+f''(),ξξxx≤≤+hiiiii2!因此，有误差fx()(−fxh−)hiiRx()=−fx'()=f''()ξ=Oh()ih2!12/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格
7、式中心差商f()()xh+−−fxhiifx'()≈i2hxi-hxixi+h13/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格式由Taylor展开23hhf(xh+=)f()xh+f'()x+f''()x+f'''(),ξξxx≤≤+hiiii11ii2!3!23hhf(xh−=)f()xh−f'()x+f''()x−f'''(),ξξxh−≤≤xiiii22ii2!3!因此，有误差fxhfxh()()+−−iiRx()=−fx'()i2h22hh2=+['''()fξξff''
8、'()]=='''()ξO(h)1212614/139郑州大学研究生2009-2010学年课程数值分析NumericalAnalysis4.2.1显格式问题：中心差商具有好的截断误差，但在区间
