同济六版高等数学(下)知识点整理

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1、实用标准文案第八章1、向量在轴上的投影：性质：（即Prj），其中为向量与轴的夹角；（即PrjPrj+Prj）；（即PrjPrj）.2、两个向量的向量积：设，，则=++=注：3、二次曲面（1）椭圆锥面：；（2）椭圆抛物面：；（旋转抛物面：（把把面上的抛物线绕轴旋转））（3）椭球面：；（旋转椭球面：（把面上的椭圆绕轴旋转））（4）单叶双曲面：；（旋转单叶双曲面：（把面上的双曲线绕轴旋转））文档实用标准文案（1）双叶双曲面：；（旋转双叶双曲面：（把面上的双曲线绕轴旋转））（2）双曲抛物面（马鞍面）：；（3）椭圆柱面：；双曲柱面：；抛物

2、柱面：1、平面方程（1）平面的点法式方程：，其中是平面上一点，为平面的一个法向量.（2）平面的一般方程：，其中为平面的一个法向量.注：由平面的一般方程可得平面的一个法向量若=0，则平面过原点；若若（3）平面的截距式方程：，其中分别叫做平面在轴上的截距.2、两平面的夹角：特殊：3、点到平面的距离公式：文档实用标准文案1、空间直线方程（1）空间直线的一般方程：（2）空间直线的对称式（点向式）方程：，其中为直线的一个方向向量，为直线上一点（3）空间直线的参数方程：2、两直线的夹角：特殊：3、直线与平面的夹角：特殊：直线与平面平行或在平

3、面内：10、平面束的方程：设直线由方程组所确定，其中不成比例，则平面为通过直线的所有平面（不包含平面）文档实用标准文案第九章1、内点一定是聚点；边界点不一定是聚点2、二重极限存在是指以任何方式趋于时，都无限接近于A，因此当以不同方式趋于时，趋于不同的值，那么这个函数的极限不存在3、偏导数：求时，只要把其他量看作常量而对求导数；求时，只要把其他量看作常量而对求导数；注意：（1）偏导数都存在并不一定连续；（2）为整体，不可拆分；（3）分界点，不连续点处求偏导数要用定义求4、若函数在点可微分，则该函数在点的偏导数、必定存在，且函数在点

4、的全微分为5、若函数的偏导数、在点连续，则函数在该点可微分6、连续,偏导数不一定存在，偏导数存在,不一定连续；连续,不一定可微，但可微,一定连续；可微,偏导数一定存在，偏导数存在,不一定可微；可微,偏导数不一定都连续；偏导数都连续,一定可微7、多元复合函数的求导法则：（1）一元函数与多元函数符合的情形：若函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有（2）多元函数与多元函数复合的情形：若函数及都在点具有对及对的偏导数，函数在对应点文档实用标准文案具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且；（3）

5、其他情形：若函数在点具有对及对的偏导数，函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数都存在，且；8、隐函数求导公式：（1）函数：（2）函数：，9、空间曲线的切线与法平面：设空间曲线的参数方程为为曲线上一点假定上式的三个函数都在上可导，且三个导数不同时为零则向量为曲线在点处的一个切向量，曲线在点处的切线方程为：，法平面方程为：如果空间曲线的方程以的形式给出，则在点处的切线方程为：，法平面方程为：文档实用标准文案如果空间曲线的方程以的形式给出，则在点处的切线方程为：法平面方程为：10、曲面的切平面与法线：设曲

6、面方程为，为曲面上一点，则曲面在点处的切平面方程为：，法线方程为：11、方向导数：若函数在点可微，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在，且，其中是方向的方向余弦12、梯度：称为函数在点的梯度，记作，即=13、设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则14、设函数在点的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数，又，令，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；（2）时没有极值；文档实用标准文案（3）时可能有极值，也有可能没有极值15、具有二阶连续偏导数的函数的极值求法：第一步：解方程组，求得一切实数解

7、，即可求得一切驻点；第二步：对每一个驻点，求出二阶偏导数的值和；第三步：定出的符号，按14的结论判定是不是极值，是极大值还是极小值注：上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下，那么在考虑函数极值时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也要考虑16、拉格朗日乘数法：要找函数在附加条件下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数，其中为参数.求其对及的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：，由这方程组解出及，这样得到的就是函数在附加条件下的可能极值点文档实用标准文案第十章1、二重积分的性质性质1：设为常数，则

8、.性质2：如果闭区域被有限曲线分为有限个部分闭区域，则在上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和.（二重积分对于积分区域具有可加性）性质3：如果在上，，为的面积，则性质4：如果在上，则有：特殊地，由于则.性质5：设分别是在闭区域上的最大值和最小值，是的面