求数列极限的十五种解法.doc

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1、求数列极限的十五种方法1．定义法定义：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数，使得当时，有，则称数列收敛于；记作：，否则称为发散数列．例1．求证：，其中．证：当时，结论显然成立．当时，记，则，由，得，任给，则当时，就有，即，即．当时，令，则，由上易知：，∴．综上，，其中．例2．求：．解：变式：；∴，∴，，则当时，有；∴．2．利用柯西收敛准则柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：，正整数，使得当时，总有：成立．例3．证明：数列为收敛数列．证：，，取，当时，有，由柯西收敛准则，数列收敛．11例4．（有界变差数列收敛定理）若数列满足条件：，，则称为有界变

2、差数列，试证：有界变差数列一定收敛．证：令，那么单调递增，由已知可知：有界，故收敛，从而，正整数，使得当时，有；此即；由柯西收敛准则，数列收敛．注：柯西收敛准则把定义中的与的关系换成了与的关系，其优点在于无需借用数列以外的数，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性．3．运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限．例5．证明：数列（个根式，，）极限存在，并求．证：由假设知；①用数学归纳法可证：；②此即证是单调递增的．事实上，；由①②可知：单调递增有上界，从而存在，对①式两边取极限得：，解得：和（舍负）；∴．4．利用迫敛性准则（即两边

3、夹法）迫敛性：设数列、都以为极限，数列满足：存在正数，当时，有：，则数列收敛，且．例6．求：．解：记：，则：；∴；从而，∴由迫敛性，得：．11注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用．5．利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为定义在上的一个函数，为一个确定的数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任意分割，在其上任意选取的点集，，只要，就有，则称函数在上（黎曼）可积，数为在上的定积分，记作．例7．求：．解：原式．例8．求：．解：因为：，又：∴；同理：；由迫敛性，得：．注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列

4、极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时，可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积分定义可能比较困难，这时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论．116．利用（海涅）归结原则求数列极限归结原则：对任何，有．例9．求：．解：．例10．计算：．解：一方面，；另一方面，；由归结原则：（取），；由迫敛性，得：．注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决．7．利用施托尔茨（）定理求数列极限定理1：型：若是严格递增

5、的正无穷大数列，它与数列一起满足：，则有，其中为有限数，或，或．定理2：型：若是严格递减的趋向于零的数列，时，且，则有，其中为有限数，或，或．例11．求：．解：令，则由定理1，得：．注：本题亦可由方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略．11例12．设，求：．解：令，则单调递增数列，于是由定理2得：．注：定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达（）法则．8．利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级数求和的知识使问题得到解

6、决．例13．求：，．解：令，则，考虑级数：．∵，∴此级数是收敛的．令，再令，∵；∴；而；因此，原式=．9．利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题．例14．设，，证明：数列收敛，并求极限．证：由，可得：，令，则，且，考虑级数：；11由于；所以，级数收敛，从而收敛．令，∵存在，∴（存在）；对式子：，两边同时取极限：，∴或（舍负）；∴．例15．证明：存在．（此极限值称为常数）．证：设，则；对函数在上应用拉格朗日中值定理，可得：，所以；因

7、为收敛，由比较判别法知：也收敛，所以存在，即存在．10．利用幂级数求极限利用基本初等函数的麦克劳林展开式，常常易求出一些特殊形式的数列极限．例16．设，若，求：．解：对于固定的，当时，单调趋于无穷，由公式，有：11．11．利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质，其应用十分广泛．下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用．例17．求：，．解：设，在上应用拉格朗日中值定理，得：，故当时，，可知：原式．12．巧用无穷小数列求数列极限引理：数列收敛于的充要条件是：数列为无穷小数列．注：该

8、引理说明，若，则可作“变量”替换：令，其中是一个无穷小数列．定理1：若数列为无穷小数列，则数列