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1、高次剩余理论研究参赛队员景琰杰顾韬指导老师施洪亮学校华东师范大学第二附属中学摘要本文用初等数论的研究方法,研究了当指数为奇质数、、直到一般大于等于2的正整数时,高次剩余的一些基本性质,最后讨论了关于符号的一些基本性质.关键词:高次剩余引言平方剩余作为同余式理论的一项重要的组成部分,在初等数论中一直占着举足轻重的地位.1796年高斯发表的二次互反律为这一理论画上了一个圆满的句号.但是高次剩余的研究却因为其情形的复杂、规律的不明显而一直没有完成.本文用初等数论的研究方法,研究了高次剩余的一些基本性质.定义假
2、如有解,则称为的次剩余,否则称为的次非剩余.为方便计,引入符号.当时,表示是的次剩余;当时,表示是的次非剩余.当时即为熟悉的平方剩余,此时可略去不写,简记为.正文因为当为合数时,等价于一组模为质数的的同余方程组.故这里先假定为质数.又因为当时结论是平凡的（此时恒有）.故又假定为奇质数.1的可解性1.1当为奇质数时当为奇质数时,由于.即的完全剩余系的前半部分与后半部分的次剩余一一对应互为相反数.因此在讨论时,只需要考虑的完全剩余系的前半部分的次剩余.1.1.1当=3时有以下结论定理1.1.1（1）当时,恒
3、成立,当时,在的完全剩余系中只有个使.证明：当时,,故有三个不同的解,除了之外还有两个解,,且,,,即,在上式同时乘以.其中满足,则.由此即得到剩下的组剩余.因此的立方剩余有个.当时,有,假如有三个不同的解,则,故.由于,,故矛盾,得故至多有两个解,是其中一个解.假如只有一个解,则.由于是一次式,其系数不为0,故必有解,故解为,即,得,即,取,得,故,而,矛盾,故无解,即只有解.假如有两个解,,且,即,则.因为,所以.设,则,,,即有两个解,这与只有一个解矛盾,故至多有一个解.假如无解,即对任意都成立,
4、则对任意都成立.因为,所以.设,则对任意都成立,这与有一个解矛盾,故至少有一个解.综上,只有一个解.当取遍的完全剩余系时,的3次剩余也取遍的完全剩余系,故定理成立.当时候还有以下一些结论：推论1.1.1（1）如果满足,,且,,,则有.证明：由上述条件易知,,即为满足的两个不同解.而由可知.故也满足.而又由于只有两个解,均不可能,故.推论1.1.1(2)如果满足,且,则,.证明：当满足且时,满足,故又,即.证毕.推论1.1.1(3)如果满足,,且,,,,则.证明：由推论1.1.1（1）得,.如果,则由推论
5、1.1.1（2）,,由于,故且,这与只有解,且矛盾,故必有,故,故.1.1.2当为大于等于5的奇质数时可以得出类似的结论：定理1.1.2（1）当时,恒成立;当时,在的完全剩余系中只有个使.证明：当时,,故有个不同的解,除了之外还有个解,,,……,,即.在上式同时乘以,其中满足,则.即得到剩下的组剩余.因此p的次剩余有个.当时,有.先来证明一个引理：引理1.1.2（1）对于的质因数,必定有.证明：必定满足且.由于是质数,故有又由于是质数,故,即.证毕.假设还有其他解,即满足,则.由引理1.1.2（1）可得
6、,这与题设矛盾.故只有解.假如有两个解,,且,即,则.因为,所以必有解.设此解为,此时,则,因为,故,即有两个解,这与只有一个解矛盾,故至多有一个解.假如无解,即对任意都成立,则对任意都成立.因为,所以必有解.设此解为,此时,则对任意都成立,这与有一个解矛盾,故至少有一个解.综上,只有一个解.当取遍的完全剩余系时,的次剩余也取遍的完全剩余系,故定理成立.对于1.1.1中的推论也可以进行推广：推论1.1.2（1）如果满足,,……,且,,,……,,则有,,……,(这里只是表示存在这样的关系,但不一定依此顺序
7、).证明：由上述条件易知即为满足的个不同的解.而由可知,,……,,故也满足.而又由于只有个解,对且,及对,且,均不可能,故有,,……,.证毕.推论1.1.2（2）如果满足,,……,且,,,……,,则.证明：由推论1.1.2（1）可得.1.2当为时当为时,由于,即的完全剩余系的前半部分与后半部分的次剩余一一对应相等.因此在讨论时,只需要考虑的完全剩余系的前半部分的次剩余.1.2.1当时此时即为熟悉的平方剩余,有关它的理论已经十分完备了,这里再添加几点.定理1.2.1（1）对于任意的,且,都有.当时,对于任
8、意的,,且,都有.当时,对于任意的,都存在,且,使得.证明：假设存在,且,使得,则,由于,故,,这与矛盾,故不存在,,使得.假设存在,且,使得,则,由于是奇质数,故;反之,当时,.如果有,则有,而,即.证毕.由上可知,当时,的平方剩余的绝对值能够遍布的完全剩余的前半部分,但相反数不会同时成为其剩余.而当时,的平方剩余的绝对值不能遍布的完全剩余系的前半部分,但相反数总是同时出现在的剩余中.由于,故可得到以下推论：推论1.2.1（1）当时,.当
