4.第四章因式分解

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1、第四章因式分解4.1因式分解专题利用因式分解解决整除问题1．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？2．利用因式分解说明257-512能被60整除．3．817-279-913必能被45整除吗？试说明理由．6参考答案1．解：设该两位数个位是b，十位是a，且a≠b，则这个两位数是10a+b，将十位与个位对调后的数是10b+a.则这两个两位数的差是

2、10a+b-（10b+a）

3、=9

4、a-b

5、，所以这两个两位数的差一定能被9整除．2．解：∵原式

6、=514-512=512（52-1）=24×512=120×511，∴257-512能被60整除．3．解：能.理由：817-279-913=328-327-326=324（34-33-32）=324×45，∴817-279-913必能被45整除．64.2提公因式法专题提公因式法的探究题1．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.(1)上述因式分解的方法是法，共应用了次；(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)201

7、4，则需要应用上述方法　　次，因式分解后的结果是　　　　　　　　；(3)请用以上的方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数)，必须有简要的过程.2．阅读下面的因式分解并回答问题：提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法，怎么办呢？由于am+an=a(m+n)，bm+bn=b(m+n)，而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(

8、m+n)(a+b) 利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.请利用上面提供的方法因式分解：2a+6b-3am-9bm.6参考答案1．解：（1）提公因式2（2）2014(1+x)2015（3）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n=（1+x）[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-1]=（1+x）2[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n-2]…=（1+x）n+1.2．解：2a+6b-3am-9bm=（2a+6b）-（3am+9bm）=2（a+3b）-3m（a+3b）=（a+3b）（2-3m）.64.

9、3公式法专题创新探究题1．设a1=32-12，a2=52-32，…，an=（2n+1）2-（2n-1）2（n为大于0的自然数）.（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出a1，a2，…，an，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）．2．观察下列等式：12+（1×2）2+22=9=（12+1+1）2，22+（2×3）2+32=49=（22+2+1）2，32+（3×4）2+42=169=（32+3+1）

10、2，42+（4×5）2+52=441=（42+4+1）2，52+（5×6）2+62=961=（52+5+1）2，…（1）根据以上运算，你发现了什么规律，用含有n（n为正整数）的等式表示该规律；（2）请用因式分解的知识说明你发现的规律的正确性．3．观察：22－12===3，42－32＋22－12=＋=（4+3+2+1）==10，62－52＋42－32＋22－12=＋＋=（6+5+4+3+2+1）==21.探究：(1)82－72＋62－52＋42－32＋22－12=_______________（直接写答案）；(2)（2n）2－(2n-1)2＋(2n-2)2

11、－(2n-3)2＋…＋22－12=______________（直接写答案）；应用：（3）如图，2013个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最里面一层画阴影，最外面的圆的半径为2013cm，向里依次为2012cm，2011cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少（结果保留）？6参考答案1．解：（1）∵an=（2n+1）2-（2n-1）2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n，n为非零的自然数，∴an是8的倍数．这个结论用文字语言表述为两个连续奇数的平方差是8的倍数.（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，1

12、44，256．n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数.2．解：（1）规律：