傅里叶变换与数字图像处理

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1、傅里叶变换与数字图像处理 (2012-05-2420:06:24)转载▼标签： it    傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦和/余弦和的形式。傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时域和频域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。一维傅里叶变换及其反变换单变量连续函数，f(x)的傅里叶变换F(u)定义为等式：  u=0，1，2，…，M一1 同样，给出F(u)，能用反DFT来获得原函数：其中，u=0，1，2，…，M一1。因此，我们看到傅里叶变换的每项[即对于每个u值，F(u)的值由

2、f(x)函数所有值的和组成。f(x)的值则与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域(u的值)称为频率域，因为u决定了变换的频率成分(x也作用于频率，但它们相加，对每个u值有相同的贡献)。F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。使用术语“频率域”和“频率成分”与“时间域”和“时间成分”没有差别，如果x是一个时间变量，可以用它来表示f(x)的域和值。 二维DFT及其反变换一维离散傅里叶变换及其反变换向二维扩展是简单明了的。一个图像尺寸为M×N的函数f(x，y)的离散傅里叶变换由以下等

3、式给出：像在一维中的情形一样，此表达式必须对u值(u=0，1，2，…，M-1)和v值(v=0，1，2，…，N-1)计算。同样，给出F(u,v)，可以通过反傅里叶变换获得，f(x，y)，由表　　达式给出： 其中，x=0，1，2，…，M-1，y=0，1，2，…，N-1。变量u和v是变换或频率变量，x和y是空间或图像变量。正如在一维中的情形那样，常量1／MN的位置并不重要，有时它在反变换之前。其他时候，它被分为两个相等的常数1/根号MN，分别乘在变换和反变换的式子前。定义傅里叶谱、相角和频率谱：  并且其功

4、率谱为：其中，R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部。通常在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数。由于指数的性质，很容易看出:其中Ζ[·]表示引文中的傅里叶变换。这个等式说明f(x,y)(-1)x+y傅里叶变换的原点[即F(0,0)]被设置在u=M／2和v=N/2上。换句话说，用(-1)x+y乘以f(x,y)将F(u,v)原点变换到频率坐标下的(M／2；N/2)，它是二维DFT设置的M×N区域的中心。我们将此频率域的范围指定为频率矩形，它从u=0到u=M-1从v=0到

5、v=N-1(u和v是整数)。为了确保移动后的坐标为整数，要求M和N为偶数。当在计算机中使用傅里叶变换时，总和的范围为u从1到M，v从1到N。实际的变换中心将为u=(M／2)+1和v=(N／2)十1。当(u,v)=(0,0)时的变换值为： 即f(x,y)的平均值。换句话说，如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级。因为在原点处常常为零，F(0，0)有时称做频率谱的直流成分。了解了傅里叶变化，下面看看为什么要在频率域研究图像增强。1.可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一

6、些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。2.滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。3.可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。4.一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。 在冈萨雷斯版<数字图像处理>里面的解释就非常的形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。

7、当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声;边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提

8、取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；5.信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。在图