一道数学考研试题的改进与证明

《一道数学考研试题的改进与证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第３３卷第４期大学数学Ｖｏｌ．３３，№．４２０１７年８月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｕｇ．２０１７一道数学考研试题的改进与证明杨威，赵德勤（合肥工业大学数学学院，合肥２３０００９）［摘要］对一道数学考研试题进行改进，并用多种方法给出其证明．［关键词］考研试题；不等式；一题多解［中图分类号］Ｏ１７２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１７）０４－０１００－０４１引言［１］２０１２年全国硕士研究生入学考试数学一、二、三有一道共同的试题：２１＋ｘｘ证明ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ≥１＋（－１＜ｘ

2、＜１）．１－ｘ２国家考试中心给出了如下的参考解答（见［１］）．２１＋ｘｘ记ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ－－１，则１－ｘ２１＋ｘ２ｘ４ｆ′（ｘ）＝ｌｎ＋２－ｓｉｎｘ－ｘ，ｆ″（ｘ）＝（１－ｘ２）２－１－ｃｏｓｘ，１－ｘ１－ｘ４当－１＜ｘ＜１时，由于（１－ｘ２）２≥４，１＋ｃｏｓｘ≤２，所以ｆ″（ｘ）≥２＞０，从而ｆ′（ｘ）单调增加．又因为ｆ′（０）＝０，所以当－１＜ｘ＜０时，ｆ′（ｘ）＜０；当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＞０，于是ｆ（０）＝０是函数ｆ（ｘ）在（－１，１）内的最小值，从而当－１＜ｘ＜１时，ｆ（ｘ）

3、≥ｆ（０）＝０，即２１＋ｘｘｘｌｎ＋ｃｏｓｘ≥１＋．（１）１－ｘ２不等式（１）的正确性是不容置疑的，但它不是一个“好”的不等式，因为我们经过分析和研究，发现了存在比其更强的不等式２１＋ｘ３ｘｘｌｎ＋ｃｏｓｘ≥１＋（－１＜ｘ＜１），（２）１－ｘ２而且这里ｘ２的系数是最佳的，即不可能再改进，本文将对其进行论证，并给出（２）的几种证明．２加强不等式及其证明命题当－１＜ｘ＜１有［收稿日期］２０１７－０３－１７；［修改日期］２０１７－０４－２５［基金项目］中央高校基本科研业务费（ＪＺ２０１５ＨＧＸＪ０１７６）［作

4、者简介］杨威（１９７９－），男，硕士，讲师，从事高等数学教学与研究、数据加密、股票概率学研究．Ｅｍａｉｌ：ｓｈｕｘｕｅｙａｎｇｗｅｉ＠１２６．ｃｏｍ［通讯作者］赵德勤（１９７８－），男，博士在读，讲师，从事非线性力系统、智能电网方面的研究．Ｅｍａｉｌ：ｚｈａｏｄｅｑｉｎ２００９＠１２６．ｃｏｍ第４期杨威，等：一道数学考研试题的改进与证明１０１２１＋ｘ３ｘｘｌｎ＋ｃｏｓｘ≥１＋．（２）１－ｘ２证由于不等式（２）两边均为ｘ的偶函数，因此以下我们只需证明０≤ｘ＜１的情况，考虑不等式１＋ｘ２ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ≥１

5、＋αｘ（０≤ｘ＜１），（３）１－ｘ其中α＞０，为参数．由（３）知，ｘ＝０时显然成立，ｘ≠０时，有１１＋ｘα≤２（ｘｌｎ１－ｘ＋ｃｏｓｘ－１），ｘ１１＋ｘ令ｇ（ｘ）＝２（ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ－１）（０＜ｘ＜１），则ｘ１－ｘ２１２ｘ１＋ｘｇ′（ｘ）＝３（２－ｘｌｎ－ｘｓｉｎｘ－２ｃｏｓｘ＋２．）ｘ１－ｘ１－ｘ２２ｘ１＋ｘ再令ｈ（ｘ）＝２－ｘｌｎ－ｘｓｉｎｘ－２ｃｏｓｘ＋２（０＜ｘ＜１），则１－ｘ１－ｘ２）２ｘ（１＋ｘ１＋ｘｈ′（ｘ）＝（１－ｘ２）２－ｌｎ－ｘｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ，１－ｘ２１６ｘｈ″（ｘ）＝（１－ｘ

6、２）３＋ｘｓｉｎｘ，故当０＜ｘ＜１时，ｈ″（ｘ）＞０，ｈ′（ｘ）单调增加，又ｈ′（０）＝０，所以ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）单调增加，而ｈ（０）＝０，所以ｈ（ｘ）＞０，从而ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调增加．由于ｌｉｍｇ（ｘ）＝＋∞，ｘ→１－０１＋ｘｘｌｎ＋ｃｏｓｘ－１１－ｘｌｎ（１＋ｘ）ｌｎ（１－ｘ）ｃｏｓｘ－１ｌｉｍｇ（ｘ）＝ｌｉｍ２＝ｌｉｍ［－＋２］ｘ→０＋ｘ→０＋ｘｘ→０＋ｘｘｘｌｎ（１＋ｘ）ｌｎ（１－ｘ）ｃｏｓｘ－１１３＝ｌｉｍ－ｌｉｍ＋ｌｉｍ２＝１＋１－＝．ｘ→０＋ｘｘ→０＋ｘｘ→０＋ｘ２２所以ｇ

7、（ｘ）＞３，由此可知α≤３，即使不等式（３）成立的参数α的最大值为３，因此不等式（２）中ｘ２２２２３的系数是最佳的．２３不等式（２）的不同证明证法１利用函数的单调性．２１＋ｘ３ｘ记Ｆ（ｘ）＝ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ－－１（０≤ｘ＜１），则１－ｘ２１＋ｘ２ｘ４Ｆ′（ｘ）＝ｌｎ＋２－ｓｉｎｘ－３ｘ，Ｆ″（ｘ）＝（１－ｘ２）２－ｃｏｓｘ－３．１－ｘ１－ｘ４当０≤ｘ＜１时，由于（１－ｘ２）２≥４，３＋ｃｏｓｘ≤４，所以Ｆ″（ｘ）≥０．Ｆ′（ｘ）单调增加，又Ｆ′（０）＝０，所以Ｆ′（ｘ）＞０，Ｆ（ｘ）单调增加，而Ｆ（０）

8、＝０，因此Ｆ（ｘ）≥０，即不等式（２）成立．证法２利用拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理．１＋ｘ３２记φ（ｘ）＝ｘｌｎ＋ｃｏｓｘ－ｘ－１（０≤ｘ＜１），对φ（ｘ）在［０，ｘ］上运用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定１－ｘ２理，有１＋ｘ３２１＋ξ２ξｘｌｎ１－ｘ＋ｃｏｓｘ－２ｘ－１＝（ｌｎ１－ξ＋１－ξ２－ｓｉｎξ－３ξ）ｘ，（４）其中０＜ξ＜ｘ＜１．１＋ｘ２ｘ再记ψ（ｘ）＝ｌｎ＋２－ｓｉｎｘ－３ｘ（０≤ｘ＜１）对ψ（ｘ）在［０，ξ］上运用Ｌａｇｒａｎ