华农概率论习题三解答

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1、习题三解答1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是：YX01/31-101/121/301/60025/1200―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X

2、，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12P{X=3,

3、Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。则（X，Y）的联合分布列为：YX123101/61/1221/61/61/631/121/60―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下解：（1）所求联合概率分布为：YXX01025/365/3615/361

4、/36（2）所求联合概率分布为：YXX01045/6610/66110/661/66―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为=（1）确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求P{0＜X≤1，0＜Y≤2}。解：（1）由概率密度函数的性质知==*=1即k=12.(2)由定义，有当时当时于是（3）=―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――5.随机变量（X，Y）的分布密度为（1）求系数C；（2）求随机变量（X，Y）落

5、在内的概率。解：（1）由（利用极坐标运算）得于是（2）利用极坐标运算得：=（1-）―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――6.求出在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域．解：由于面积Ｓ=1/4，所以（X,Y）的联合密度函数为分布函数分区域讨论（1）当从而（2）当（3）当（4）当（5）当综上可得：7.设随机变量（X,Y）的概率密度为求P｛X+Y｝.解：P｛X+Y1｝=1–P｛X+Y<1｝=1–=8：设二维随机变量（X，Y）

6、要区域D上服从均匀分布，其中D是曲线y=和 y=x所围成，试求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度。解：面积则（a）关于X的边缘概率密度当时,当时所以（b）关于Y的边缘概率密度当时,当时所以9．（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件{X=-1，y=1}）？（2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件）？解：（1），而根据定义得：X与Y不相互独立。（2）10．已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：求边缘概率密度与；（1），（2）问X和Y是否相互独立？解：（1）当0≤x≤1时，其它，所以所以关于X的概

7、率密度为类似地，当0≤y≤1，其它，所以（3）故由条件概率密度的定义可知，（3）x=1，y=1时，×＝（4y-3）(4x-3)=1此时所以X和Y不相互独立。―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――11．（1）如果（X，Y）在以原点为中心，边长为2的正方形内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？（2）如果（X，Y）在以原点为中心，R为半径的圆内服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？解：（1）因为（X，Y）服从均匀分布，故当x<-1或x>1时，f(x,y)=0所以当时，于是得关于X的概率密度为同理可得

8、关于Y得概率密度为，故X和Y是相互独立。（2）因为（X，Y）服从均匀分布，故当x<－R或x>R时，，所以当时，即同理得：,,故X和Y不相互独立。12.设X和Y相互独立，它们的概率密度分别为求Z＝X＋Y的概率密度.解：因为X和Y相互独立，所以有当时当