非线性算子不动点的迭代算法

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1、天津．I：业人学硕士学位论文(9)称T为半紧的，如果对于K中的序列{zn)满足lira_．-÷∞lIz竹一乳n0=0，则存在{zn)的一个子序列{％，)使得％，一P∈K．定义2．1．2．设日是一个Hilbert空间，K是日的一个非空闭凸子集，映射T：K_K叫做肛逆强单调的(p—ism)，如果满足下列不等式：(X—Y，Tx—Ty)≥vllTx—Tyii2，坛，y∈K．命题2．1．3．111假设珂是一Hilbert空间，K是日的一非空闭凸子集．对于任意的z∈H，存在唯一点z∈K使得忙一zll=inf{Ilx—ylI：Y∈K}．靠为从日到K最近点投影，且2=Puz∈K．引理2．1

2、．4．111假设日是--Hilbert空间．K是H的一非空闭凸子集，玖为从日到K最近点投影，jfllj岛f和J—Bf足l一逆强单调的．引理2．1．5．Ill假设日是一Hilbert空间，K是H的一非空闭凸子集，氏为从日到K最近点投影．设A：H_日是一有界线性算子，岔是A的伴随算子，则算子∥(，一PK)A足赤一逆强单调的．引理2．1．6．【上】设日是--Hilbert空间。没S，T：H_H是两个映射，且设V=I—T则(1)r是非扩张映射当且仪当y是：；1一逆强单调的．(2)如果S是泸逆强单调的，则对于7>0，7S足等一逆强单调的．(3)S是平均映射当且仪当J—S是p一逆强单调

3、的，其中∥>；．引理2．1．7．【l】设S，T，V：H—H足三个映射，(1)设S=(1一n)r+aV，Q∈(0，1)，如果丁是平均映射．y是非扩张映射，则S足甲均映射．(2)如果．S和丁是两个平均映射．则复合映射ST也是平均映射．定义2．1．8．设E足一自反的Banach空间，C和{G)茫。足E的一个子集和一子集序列．则序列{仉)篷。叫做Mosc伊收敛NC，id为Ck三C，如果满足下列条件：(1)Vz∈C，j{孤}且孤∈G，使得Xk—z；(2)V序列{zb)器。且zb∈％使得zb_z考X∈C．定义2．1．9．设G和岛足Hilbert空fnJ日的两个非空闭凸子集．a和Q两个集

4、合的P一距离，记为以(G，G)，定义为：dp(Cl，G)：=sup{11Pc。z一户如z}I)．忙¨SP设C和G是Hilbert空间日的一非空闭凸子集和一非空闭凸子集序列，则G二C当且仪当dp(a，C)_0，k—oo，Vp≥0(参考文献【4】)．4第二章预备知识2．2Hilbert空间几何性质设日为一个实Hilbert空间，定义内积为(·，·)和范数为0·11．性质2．2．1．(Schwardz不等式)№‘，Y∈日，l(z，秒)l≤l

5、zlIlI可II．性质2．2．2．V0，Y∈日，IIx+掣112=lIxll2+2(x，功+Ilyll2．性质2．2．3．(平行四边形法则)

6、妇，!，∈日，lIx+yll2+IIx一!，02=2(1lxll2+IIyIl2)．性质2．2．4．协，Y∈日，A，p∈f0，1l，A+p=1，0入z+芦可112=Allxll2+pllyll2一入pllz—s，112．2．3Banach空间几何性质设E是一个具有范数”I[1约Banach空fiJJ，映射J：E_2F是被下式定义的正规对偶映射：a(x)={，∈E+，(z，，)=IIz⋯Ifll，IIxll=lIfll}，Vz∈E，其中E‘是E的对偶空间，(·，·)表示广义对偶对．通常我们用J表示单值的对偶映射．设{％}是Banach空间E中的一个序列，称(1)序列{zn)强

7、收敛(或范数收敛)剑z(简记为：zn_z)足指曼怂II％一zlI=O．(2)序列{％)弱收敛剑z(简记为：zn。z)足指V，∈E‘，熙，(zn)=，(z)·定义2．3．1．称函数6：【0，2】_【0，1J为Banach空问E的凸性模：6(E)：inf{l—j!兰弓I盟：Ilxll≤1，IlylI≤l，IIz一秒o≥E)．显然可以知道，6足一个非降的函数，即指若E1≤Q，则6(￡1)≤6(E2)，其中￡l，￡2∈【0，2】．性质2．3．2．国设E为Banach空间，下面的说法等价：(1)E为一致凸的；(2)垤>0，6(E)>0；5天津一I：业人学硕士学位论文(3)任意序列{z

8、竹)，．【蜘>CE，liI‰。ooIlz。8=link。∞Il蜘ll=l，limn．oolIzn+鲰0=2，贝qlim。。∞Il‰一蜘Il=0．定义2．3．3．称Banach空问E具有Kadec—Klee性质，足指对于每一序列{zn)cE，若有zn—zNIIxnII_忙

9、l成立，则有％一z成立．参考文献f21说明若Banach空闷E是一致凸的，则E具有Kadec—Klee性质．引理2．3．4．阎(徐洪坤不等式)设P>1和r>l为固定实数，则E为一致凸Banach空问的充要条件为存在连续的、严格增的、凸函数g：【0，