北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)

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1、北京市西城区2013—2014学年度第一学期期末试卷高三数学(文科)一、选择题（共8小题；共40分）1.设集合A=x03B.∀x∈R，x−2≥3C.∃x∈R，x−2<3D.∃x∈R，x−2≥33.在平面直角坐标系xOy中，点A1,3，B−2,k，若向量OA⊥AB，则实数k= A.4B.3C.2D.14.若坐标原点在圆x−m2+y+m2=4的内部，则实数m的取值范围

2、是 A.−1b2B.1a<1bC.0

3、：u=x+y,v=x−y,的作用下，区域D内的点x,y对应的象为点u,v，则由点u,v所形成的平面区域的面积为 A.2B.4C.8D.16第7页（共7页）二、填空题（共6小题；共30分）9.已知复数z满足z=2i1+i，那么z= ．10.在等差数列an中，a1=1，a8+a10=4，则公差d= ；前17项的和S17= ．11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为 ．12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cosA+B=13，则cos

4、C= ；c= ．13.设函数fx=log2x,x>0,4x,x≤0,则ff−1= ；若函数gx=fx−k存在两个零点，则实数k的取值范围是 ．14.设M=x,yFx,y=0为平面直角坐标系xOy内的点集，若对于任意x1,y1∈M，存在x2,y2∈M，使得x1x2+y1y2<0，则称点集M满足性质P．给出下列三个点集：① R=x,ycosx−y=0；② S=x,ylnx−y=0；③ T=x,yx2−y2=1．其中所有满足性质P的点集的序号是 ．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=3cosωx，gx=sinω

5、x−π3ω>0，且gx的最小正周期为π．（1）若fα=62，α∈−π,π，求α的值；（2）求函数y=fx+gx的单调增区间．16.以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．甲组乙组8822901a（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；（2）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（3）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．17.如图，在多面体ABC

6、DEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．第7页（共7页）（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求证：平面BDGH∥平面AEF；（3）求多面体ABCDEF的体积．18.已知函数fx=x+aex，其中e是自然对数的底数，a∈R．（1）求函数fx的单调区间；（2）当x∈0,4时，求函数fx的最小值．19.已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为1,1，直线AB的斜率为kk>0．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（1）求k的

7、取值范围；（2）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．20.设无穷等比数列an的公比为q，且an>0n∈N*，an表示不超过实数an的最大整数（如2.5=2），记bn=an，数列an的前n项和为Sn，数列bn的前n项和为Tn．（1）若a1=14，q=12，求T3；（2）证明：Sn=Tnn=1,2,3,⋯的充分必要条件为an∈N*；（3）若对于任意不超过2014的正整数n，都有Tn=2n+1，证明：2312012

8、第一部分1.D2.D3.A4.C5.B【解析】程序框图执行的运算为S=11×2+12×3+13×4+14×5=45．6.C7.A【解析】设x∈−2,−1，则x+2∈0,1，由fx+1=2fx，得fx+2=4fx，所以fx=14x+22−x+2=14x+322−116−2≤x≤−1．所以当x=−32时，fx取到最小值−