2013-2014学年北京市海淀区九上期末数学试卷

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2013-2014学年度北京海淀九上期末数学一、选择题（共8小题；共40分）1.32的值是 ()A.3B.−3C.±3D.62.如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是 ()A.B.C.D.3.如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，若AD=5，BD=10，AE=3，则CE的长为 ()A.3B.6C.9D.124.二次函数y=−2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180∘，则旋转后的抛物线的解析式为 ()A.y=−2x2−1B.y=2x2+1C.y=2x2D.y=2x2−15.在平面直角坐标系xOy中，以点3,4为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是 ()A.相离B.相切C.相交D.无法确定6.若关于x的方程x+12=k−1没有实数根，则k的取值范围是 ()A.k≤1B.k<1C.k≥1D.k>1第15页（共15页） 7.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30∘，AB=23，则AC等于 ()A.4B.6C.43D.638.如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是 ()A.B.C.D.二、填空题（共4小题；共20分）9.比较大小：22 3（填“>”、“=”或“<”）．10.如图，A，B，C是⊙O上的点，若∠AOB=100∘，则∠ACB= 度．第15页（共15页） 11.已知点P−1,m在二次函数y=x2−1的图象上，则m的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 ．12.在△ABC中，E，F分别是AC，BC边上的点，P1，P2，P3，⋯，Pn−1是AB边的n等分点，CE=1nAC，CF=1nBC．如图1，若∠B=40∘，AB=BC，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+⋯+∠EPn−1F= 度；如图2，若∠A=α，∠B=β，则∠EP1F+∠EP2F+∠EP3F+⋯+∠EPn−1F= （用含α，β的式子表示）．三、解答题（共13小题；共169分）13.计算：27−33+−20130+∣−23∣．14.解方程：xx−3=23−x．15.如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90∘，C为线段BD上一点，且AC⊥CE．求证：ABCD=BCDE．16.已知抛物线y=x2+bx+c经过0,−1，3,2两点．求它的解析式及顶点坐标．17.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC且BD=DC，E是BC上一点，且CE=DA．求证：AB=ED．18.若关于x的方程x2+2x+k−1=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取得最大整数值时，求此时方程的根．19.如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180∘，设扇形花坛的半径为r米，面积为S平方米．（注：π的近似值取3）第15页（共15页） （1）求出S与r的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；（2）当半径r为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．20.如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E点．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．21.已知二次函数y=2x2+m．（1）若点−2,y1与3,y2在此二次函数的图象上，则y1 y2（填“>”、“=”或“<”）；（2）如图，此二次函数的图象经过点0,−4，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和．22.晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程xx+4=6．解：原方程可变形，得x+2−2x+2+2=6.x+22−22=6,x+22=6+22,x+22=10.直接开平方并整理，得x1=−2+10，x2=−2−10．第15页（共15页） 我们称晓东这种解法为“平均数法”．（1）下面是晓东用“平均数法”解方程x+2x+6=5时写的解题过程．解：原方程可变形，得x+▫−○x+▫+○=5.x+▫2−○2=5,x+▫2=5+○2.直接开平方并整理，得x1=☆, x2=¤.上述过程中的“▫”，“○”，“☆”，“¤”表示的数分别为 ， ， ， ．（2）请用“平均数法”解方程：x−3x+1=5．23.已知抛物线y=m−1x2−2mx+m+1（m>1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx−k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．24.已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG=BD．①求∠BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．25.如图1，已知二次函数y=x2+bx+32b的图象与x轴交于A、B两点（B在A的左侧），顶点为C，点D1,m在此二次函数图象的对称轴上，过点D作y轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线于E点．第15页（共15页） （1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；（2）当点D的坐标为1,1时，连接BD、BE．求证：BE平分∠ABD；（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，求点E的横坐标．第15页（共15页） 答案第一部分1.A2.C3.B4.D5.C6.B7.B【解析】连接OB，则OB⊥AB．在Rt△ABO中，AB=23，∠A=30∘．∴OB=2，OA=4．∴AC=6．8.A【解析】如图，当x≤1时，y=x2．如图，当120−2r．解得r>4．其中40．∵点B在二次函数y=2x2−4的图象上，∴2n=2n2−4.解得n1=2,n2=−1舍.∴点B的坐标为2,4．∴S阴影=S矩形BCOE=2×4=8．22.（1）4；2；−1；−7      （2）原方程可变形，得x−1−2x−1+2=5.x−12−22=5,x−12=5+22,x−12=9.直接开平方并整理，得x1=4, x2=−2.23.（1）令y=0，则m−1x2−2mx+m+1=0.∵Δ=−2m2−4m−1m+1=4，解方程，得x=2m±22m−1.∴x1=1,x2=m+1m−1.∴抛物线与x轴的交点坐标为1,0，m+1m−1,0．      （2）∵m>1，∴m+1m−1>1．由题意可知，m+1m−1−1=2.解得，m=2.经检验m=2是方程的解且符合题意．∴m=2．      （3）∵一次函数y=kx−k的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程kx−k=m−1x2−2mx+m+1有两个相等的实数根．整理该方程，得m−1x2−2m+kx+m+1+k=0,第15页（共15页） ∴Δ=2m+k2−4m−1m+1+k=k2+4k+4=k+22=0，解得k1=k2=−2.∴一次函数的解析式为y=−2x+2．24.（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90∘．∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG．即：∠BCG=∠DCE．∴△BCG≌△DCE．∴BG=DE．      （2）①连接BE．由（1）可知：BG=DE．∵CG∥BD，∴∠DCG=∠BDC=45∘．∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90∘+45∘=135∘．∵∠GCE=90∘，∴∠BCE=360∘−∠BCG−∠GCE=360∘−135∘−90∘=135∘．∴∠BCG=∠BCE．∵BC=BC，CG=CE，∴△BCG≌△BCE．∴BG=BE．∵BG=BD=DE，∴BD=BE=DE．∴△BDE为等边三角形．∴∠BDE=60∘．②正方形CEFG的边长为3−1．第15页（共15页） 【解析】延长EC交BD于点H．易证△BCE≌△BCG．可得∠BEC=∠DEC．∴EH⊥BD，BH=12BD．∵BC=CD=2，在Rt△BCD中，勾股定理可得BD=2．∴BH=1．∴CH=1．在Rt△BHE中，BH=1，BE=BD=2，∴EH=3．∴CE=EH−CH=3−1．25.（1）∵点D1,m在y=x2+bx+32b图象的对称轴上，∴−12b=1．∴b=−2．∴二次函数的解析式为y=x2−2x−3．∴C1,−4．      （2）∵D1,1，且DE垂直于y轴，∴点E的纵坐标为1，DE平行于x轴．∴∠DEB=∠EBO．令y=1，则x2−2x−3=1，解得x1=1+5，x2=1−5．∵点E位于对称轴右侧，∴E1+5,1．∴DE=5．令y=0，则x2−2x−3=0，求得点A的坐标为3,0，点B的坐标为−1,0．∴BD=12+1−−12=5．∴BD=DE．∴∠DEB=∠DBE．∴∠DBE=∠EBO．∴BE平分∠ABD．      （3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似，第15页（共15页） 且△GDE为直角三角形，∴△ACG为直角三角形．∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限，∴∠CAG=90∘．∵A3,0，C1,−4，AF⊥CG，∴求得G点坐标为1,1．∴AG=5，AC=25．∴AC=2AG．∴GD=2DE或DE=2GD．设Et,t2−2t−3（t>1），①当点D在点G的上方时，则DE=t−1，GD=t2−2t−3−1=t2−2t−4．i．如图，当GD=2DE时，则有t2−2t−4=2t−1．解得，t1=2+6，t2=2−6（舍）．ii．如图，当DE=2GD时，则有t−1=2t2−2t−4．解得，t1=72，t,2=−1（舍）．②当点D在点G的下方时，则DE=t−1，GD=1−t2−2t−3=−t2+2t+4．i．如图，当GD=2DE时，第15页（共15页） 则有−t2+2t+4=2t−1．解得，t1=6，t2=−6（舍）．ii．如图，当DE=2GD时，则有t−1=2−t2+2t+4．解得，t1=3，t2=−32（舍）．综上，E点的横坐标为2+6或72或6或3．第15页（共15页）