用矩阵的初等行变换求n个整数的最大公因子 数学专业毕业论

《用矩阵的初等行变换求n个整数的最大公因子 数学专业毕业论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、用矩阵的初等行变换求N个整数的最大公因子数学系20021112班高兴龙指导教师铁勇摘要：初等变换是高等代数中重要的内容之一，在数学学习中体现出很大的实用性。本文在常规方法（提取公因数法、分解质因数法等）的基础上,运用最大公因子的理论知识和矩阵的初等行变换，简便有效地求出N个数的最大公因子。其意义在于体现这种方法的优越性,促进此类问题的研究。关键词：初等行变换；整数；最大公因子UsingtheMatrix’sElementaryRowTransformationtoSolvetheGreatestCommonFa

2、ctorofNIntegerAbstract:Elementarytransformationisoneoftheimportantcomponentsinhigheralgebraandshowsgreatpracticalapplicabilityinmathematicslearning.Onthebasisofconventionalmethods(i.e.thecommonfactorwithdrawal,primefactordecomposition,etc),thispaperputsforwa

3、rdasimplemethodforeffectivelyworkingoutthegreatestcommonfactorofNintegerbyadoptingthetheoryofthegreatestcommonfactorandelementaryrowtransformation.Thesignificanceofthismethodliesinitssuperiorityandcanpromoteresearchonthiskindofproblems.Keywords:elementaryrow

4、transformation;integer;greatestcommonfactor1引言初等数论的基础是整除理论，而整除理论的中心内容又是最大公因子理论.最大公因子理论看起来似乎很简单，但它的内容却是十分的重要.解线性方程组中引入矩阵[1]，不仅为解线性方程组带来极大的方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，丰富了矩阵理论的应用.不定方程[2]是初等数论的一个重要内容，而求N个数的最大公因子又是研究不定方程的一个必不可少的部分.在研究不定方程时，往往需要求出最大公因子，特别是求N（N3）个整数的最大公因子，那

5、么根据不定方程的有关理论，求出最大公因子就可以断定方程是否有解.而在求最大公因子时，通常的方法都是利用提取公因数法、分解质因数法、辗转相除法等[3]，这些方法的缺点是计算量过大，步骤繁琐.尤其是在求N（N）个整数的最大公因子时，需要进行N-1次的运算[4].文献[1]、[4]、[6]、[10]中将整数的最大公因子扩充到多项式的最大公因式，而且求最大公因式的方法甚多，如提取公因数法、分解质因数法、辗转相除法等.目前，国内外的研究还出现了用计算机语言编写出程序，只需在电脑上输入N个多项式（整数），就可以求出最大公因

6、式（最大公因子）.还有研究将整数的最大公因子扩充到矩阵的最大公因子（左最大公因子和右最大公因子）等.文中的其它文献也相应地介绍了最大公因子的求法及应用等理论知识，但这些求最大公因子的方法都具有一定的局限性，并且计算量过大，步骤繁琐，学生学习时容易出错，从而不易有效求出最终结果.本文利用矩阵的初等行变换求N个数的最大公因子，从而大大地改进了辗转相除法等方法所表现出来的缺点.2预备知识求最大公因子都是在整数范围内进行的，这里明确指出，下文所涉及到的数都是指整数.此外，还需要给出以下定义、引理等基础知识.定义1设是n

7、个整数，如果那么就称为的公因子．定义2[5]设是n个不全为0的整数，那么的公因子中的最大的称为的最大公因子，记作．当=1时，用表示的因子中最大的．定义3设矩阵A是m×n矩阵，若A中的元素均为整数，则称A为m×n整数矩阵.定义4[6]主对角线上的元素全为1，其它元素都为0的矩阵称为n级单位矩阵.记作.定义5[7]称下列变换为整数矩阵的初等行变换.1.互换整数矩阵的第行第行，记作；2.用整数k乘以矩阵的第行，记作；3.把整数矩阵的第行乘以K以后加到第行，记作.注：定义5中的K只能是中某一数的整数倍，目的是保证变换前

8、后都是整数矩阵，且第一行元素的最大公因子也保持不变.或者用通俗的语言定义就是：矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上.引理1[8](最大公因子的性质定理)若是n个不全为0的数，则1.（）=（）；2.（）=（）；3.（）=.由引理可知，要求N个整数