《参数方程复习》word版

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1、参数方程复习知识网络知识回顾1.直线(t是参数).2.圆(θ是参数).3.椭圆中心在(0,0)(0≤t≤π)(t是参数).中心在(x0,y0)(0≤t≤π)(t是参数).4.双曲线(θ是参数).5.抛物线(t是参数).6.渐开线(t是参数).7.摆线(t是参数).典例精讲【例1】过点P(2,-2)作直线交椭圆=1于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程.解:设M(x0,y0),直线的倾斜角为α,则直线的参数方程为(t为参数).代入椭圆方程16(x0+tcosα)2+25(y0+tsinα)2-16×25=0(16cos2α+25s

2、in2α)t2+(32cosα·x0+50sinα·y0)t+16x02+25y02-16×25=0,由于(x0,y0)为中点,∴t1+t2=0,即32x0cosα+50y0sinα=032x0+50y0·=0,k=.代入32x0+50y0·=032(x-1)2+50(y+1)2=82=1.类题演练1过点P(1,1)作直线l交椭圆=1于A,B两点,若P为AB中点,求直线l的方程.解:设直线l的倾斜角为α,则l的参数方程为(t为参数）.将其代入椭圆方程（tcosα+1)2+4(tsinα+1)2-16=0,得(cos2α+4s

3、in2α)t2+2(cosα+4sinα)t-11=0.因为P（1,1）为AB的中点，∴t1+t2=0，即cosα+4sinα=0.∴=tanα=k=-.则所求直线l的方程为x+4y-5=0.变式提升1过点P（2，－1）作直线l交曲线xy=1于A,B两点,求AB中点M的轨迹方程.解:设AB中点M(x0,y0),l的倾斜角为α,则l的参数方程为(t为参数),代入xy=1,即(tcosα+x0)(tsinα+y0)=1t2sinαcosα+(y0cosα+x0sinα)t+x0y0-1=0.由于M(x0,y0)为弦中点,则t1+t

4、2=0.∴y0cosα+x0sinα=0y0+x0=0.将=tanα=k=代入,则y0+x0=02xy+x-2y=0为所求.【例2】已知圆系的方程为x2+y2-2acosφ·x-2asinφ·y=0(a>0).(1)求圆系圆心的轨迹方程;(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.解:(1)将圆系方程配方:(x-acosφ)2+(y-asinφ)2=a2.所以圆心的轨迹的参数方程为(φ为参数).消去φ,得x2+y2=a2.(2)两圆公共弦所在直线方程由方程组求得2axcosφ+2aysinφ-a2=0,圆x2+y2=a2

5、圆心为(0,0),弦心距d=.定圆的弦心距为定值,则弦长为定值,这个定值为d=a.温馨提示题干中的“圆系”的含义是指当参数φ变化时的一系列圆,这也是参数方程的一种形式.类题演练2如图,圆x2+y2=r2的弦AB垂直于x轴,P为AB上一点,且

6、AP

7、·

8、PB

9、=a2(a≤r)为定值,求点P的轨迹方程.解:设A(rcosφ,rsinφ),则点B(rcosφ,-rsinφ),P(x,y).∵AB⊥x轴,∴x=rcosφ,

10、AP

11、=

12、rsinφ-y

13、,

14、PB

15、=

16、y+rsinφ

17、.∵

18、AP

19、·

20、PB

21、=

22、(rsinφ-y)·(rsin

23、φ+y)

24、=a2

25、y2-r2sin2φ

26、=a2,∵

27、y

28、≤

29、rsinφ

30、,∴r2sin2φ-y2=a2.∴y2+a2=r2sin2φ.又x=rcosφ,∴x2+y2+a2=r2x2+y2=r2-a2.变式提升2抛物线y2=2px,一组平行弦的斜率为k,求弦中点的轨迹方程.解:设中点M(x0,y0),平行弦倾斜角为α,则平行弦所在直线的参数方程为(t为参数,=k).代入抛物线方程有(tsinα+y0)2-2p(tcosα+x0)=0t2sin2α+2(y0sinα-pcosα)t+y02-2px0=0.∵M(x0,y0)为弦

31、中点,∴t1+t2=0,即y0sinα-pcosα=0.∴y=,将y=代入y2=2px,得=2px,x=.∴y=且x>为一条射线.【例3】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点(AB不与对称轴垂直),AB的垂直平分线交对称轴于S,求证:

32、FS

33、=

34、AB

35、.解:设抛物线方程为y2=2px(p>0),AB的倾斜角为α(α≠),则直线AB的参数方程是(t为参数).代入抛物线方程:t2sin2α-2p(+tcosα)=0t2sin2α-2ptcosα-p2=0.

36、AB

37、=

38、t1-t2

39、=.又如图,

40、FP

41、=

42、t1+t2

43、=,在Rt

44、△PSF中,

45、FS

46、=,∴

47、FS

48、=

49、AB

50、.类题演练3点A,B在椭圆=1上,O为原点,OA⊥OB,求证:为定值.解:设∠AOx=α,OA=t,则∠BOx=α+,设OB=t′,则OA,OB所在直线方程分别为即分别代入椭圆方程中,得=1.∴,同理,.∴=定值.【例4】过点P(2