2013届高三数学二轮复习热点 专题二 高考中解答题的审题方法探究4 数列问题 理

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1、"2013届高三数学二轮复习热点专题二高考中解答题的审题方法探究4数列问题理"主要题型：(1)利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前n项和；(2)利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)；(3)利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和；(4)利用函数与不等式处理范围和最值问题．【例6】►(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.

2、[审题路线图]2Sn＝an－2n＋1＋1，n∈N*，⇓令n＝1，n＝2，⇓再有a1＋a3＝2(a2＋5)，联立三式可求a1.⇓由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1写出n≥2时2Sn－1＝？⇓两式相减可得an＋1与an的关系式，⇓同除2n，构造出一个新数列．⇓利用等比数列的通项公式求an，(注意验证n＝1时的情况)⇓写出通项，⇓3n＝(2＋1)n，利用二项式定理展开，⇓利用放缩法得结论．[规范解答](1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②(2分)又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋

3、a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.(4分)(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，(5分)两式相减得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，即＋2＝.(8分)又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，(8分)∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，∴an＝3n－2n.(9分)(3)由(2)得＝＝＝＜，∴＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋＜.(14分)抢分秘诀1．数列问题第(1)小题一般为求数列通项公式，在此题中其方向已非常明确，只需构造出所给的{an}数列即可得到解决问题的方法，过程书

4、写目的较强．2．数列问题第(2)小题，有数列求和，也有与其他知识相互交汇的不等式证明、不等式恒成立等问题，但很多数列试题解题的关键往往是一个数列的求和问题，因此我们要熟练掌握数列求和的方法．【例7】►(2011·天津)已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2.(1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列；(3)设Sn为{an}的前n项和，证明：＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)．[审题路线图]首先破解bn＝，即bn＝再结合bn＋1an＋bnan

5、＋1＝(－2)n＋1就可解出a2，a3；⇓对bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1关系式进行处理，n分别取奇数、偶数可得两个关系式，再抓住cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，即可证明{cn}是等比数列；⇓首先利用cn＝a2n＋1－a2n－1及累加法求a2n－1，从而可求得a2n，然后求出关系式＋的表达式，最后利用放缩法证明不等式．[规范解答](1)由bn＝，n∈N*，可得bn＝又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－；当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(4分)(2)对任意

6、n∈N*，a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，于是＝4.所以{cn}是等比数列．(8分)(3)a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，故对任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，所以a2k＝－22k－1，k∈N*.(10分)因此，

7、S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝.于是S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1.(12分)故＋＝＋＝－＝1－－.所以，对任意n∈N*，＋＋…＋＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝n－－－…－≤n－＝n－.……(14分)抢分秘诀,本题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大.第(2)问与第(1)问相比，难度有所加大，难点就在归纳出一般的式子及递推关系式，第(3)问难度更大.在阅卷中发现，几乎没有考生得满分，少数考生得前两问的分数，部分考生得

8、第(1)问的分数.[押题5]已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(1)求a2，a3；(2)设bn＝a2