高中数学 正弦函数、余弦函数的图象提高知识讲解 新人教a版必修1

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1、正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象．【要点梳理】要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．2．几何法利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象．3．五点法先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是要点诠

2、释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点．（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象．（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．要点二：正弦曲线、余弦曲线（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．（2）图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数．要点三：函数图象的变换图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到．【典型例题】类

3、型一：“五点法”作正、余弦函数的图象例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．（1）；（2）．【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=

4、cosx

5、，x∈[－2π，2π]的图象即可．【解析】（1）描点、作图x011其图象如下图所示．（2）函数y=

6、cosx

7、，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cosx，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．【总结升华】作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一

8、种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．举一反三：【变式1】用五点法作出下列函数的图象．（1），；（2），．【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点．【解析】（1）找出五点，列表如下：x0010－10y=2－u21232描点作图（如下图）．（2）找出五点，列表如下：0xy=cosu10－101描点作图（如下图）．【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这

9、五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．类型二：利用图象变换作出函数的图象例2．（1）作函数的图象；（2）作函数的图象．【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象．（2）函数的定义域为{x

10、x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数的图象后，要把x=kπ（k∈Z）对应的点去掉．【解析】（1）将化为，其图象如下图．（2）当，即x≠kπ（k∈Z）时，有，即（x≠kπ，k∈Z）．其图象如下图．【总结升华】函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对

11、称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称．举一反三：【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：．【解析】先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．类型三：利用函数图象解简单的三角不等式例3．根据正弦曲线求满足的x的范围．【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍．【解析】在同一坐标系内作出函数y=sinx与的图象，如下图．观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是．【总结升华】（1）一般地，对于y=sinx，观察其一个周期常常是[0，2π]或；对于y=

12、cosx，观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]．（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解．举一反三：【变式1】已知，解不等式．【解析】画出函数y=sinx，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是．类型四：三角函数图象的应用例4．（1）方程的解的个数为（）A．0B．1C．2D．3（2）

13、若函数，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．（3）当k为