高三数学总复习教程第8讲 二次函数

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1、高三数学总复习教程第8讲二次函数一、本讲内容本章进度二次函数、二次方程与不等式二、学习指导一次函数与二次函数在高中数学中占有重要位置，一次函数内容较简单；二次函数虽在初中已学过，但那时遇到的情况较简单，对了二次函数在定义域受限制时的值域、单调区间、二次方程根的分布，二次不等式及它们之间的关系等都未涉及，字母系数的二次函数更是同学们学习的一个难点，所以，应占在新的高度重新认识。(1)在一元二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；c=f(0)是图象在y轴上的截距；对称轴为x=，a、b同号时在左半平面，a、b异号时在右半平面；判别式△

2、决定了图象与x轴的位置关系：△＜0时，不相交，△=0时，有一个交点(，0)，当△＞0时，有两交点，两交点间距离(弦点)=；当a＞0，x∈［m，n］时，若≤m，则f(x)∈［f(m)，f(n)］；若≥n时，f(x)∈［f(n)，f(m)］；若m＜≤，则f(x)∈［，f(n)］；若＜＜n，则f(x)［，f(m)］.当a＜0，x∈［m，n］时，若≤m，则f(x)∈［f(n)，f(m)］；若≥n时，f(x)∈［f(m)，f(n)］；若m＜≤，则f(x)∈［f(n)，］；若＜＜n，则f(x)∈［f(m)，］.对一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)，x∈(m，n).

3、解集为单元素集f(m)f(n)＜0或△=0∈(m，n)；解集含两个元素△＞0△＞0f(m)＞0f(m)＜0f(n)＞0或f(n)＜0∈(m，n)∈(m，n)a＞0a＜0；解集为空集△≥0△≥0f(m)＞0或f(m)＜0f(n)＞0f(n)＜0(m，n)(m，n)a＞0a＜0若既x∈(m，n)为x∈［m，n］，则除去对(m，n)的一般讨论外，要具体关注x=m，x=n的情形.对一元二次不等式，为简单化、程式化计，我们先使二次项系数变正.(即使a＞0)：ax2+bx+c＞0ax2+bx+c＜0△＜0R△=0｛｝△＞0两根之外(开区间)两根之间(开区间)三、典型例题讲评例1．设

4、二次函数y=f(x)在x=m(m≥0)时有最大值5，二次函数y=g(x)在x=m时值为25，g(x)有最小值－2，又f(x)+g(x)=x2+16x+13.求m及g(x).根据条件表达二次函数有三种常见模式可供选择：①当图象通过的已知点较多(三个，至少两个)时，采用一般式：y=ax2+bx+c(a=0).②当已知二次函数图象的顶点(至少知道对称轴)时，常单用的y=a(x－xO)2+yO形式；③如知道相应二次方程f(x)=0的两个根x1，x2.则采用y=a(x－x1)(x－x2)的形式较简单.本题中，我们可设f(x)=a(x－m)2+5＜则g(x)=x2+16x+13－a

5、(x－m)2－5令x=m知25=m2+16m+8.m=1或－17(m=－17＜0.舍去＝∴g(x)=(1－a)x2+(16+2a)+8－a令8a－=－2便可求出a的值.例2已知函数f(x)=ax2+4x+b＜，设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1、x2，方程f(x)=x的两实根为、.(1)若a、b均为负整数，且=1.求f(x)的解析式；(2)若仅a为负整数，且f(1)=0，则1≤＜2.(3)若＜1＜＜2.则x1x2＜2.本题中两个方程：ax2+4x+b=0和ax2+3x+b=0第(1)题中只涉及第二个方程，由已知1=两边平方化简后有a(a+4b)=9.因a、b故均为

6、负整数，故a+4b也为负整数.由a－1－3－知9a+4b－9－3－1a－1－3－9b－202只有第一组符合题意∴f(x)=－x2+△x－2.第(2)小题中a+4+b=0，故==2=2=2∈(这是因为仅a为负整数，b=－(a+4)≥0.a≤－4.故)第(3)小题中，记g(x)=ax2+3x+b.由已知g(1)=a+3+b＞0①g(2)=4a+6+b＜0②①×2－②式得：－2a+b＞0而a＜0.∴＜2即x1、x2＜2例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A(m1，f(m1))、B(m2、f(m2))的坐标满足a2+［f(m1)+f(m2)］a

7、+f(m1)f(m2)=0,f(1)=0.(1)求方程f(x)=0另一个根的取值范围；(2)求证：b≥0；(3)求证：f(m1+s)与f(m2+3)两数中至少有一个为正数，别一根为：因a＞b＞c，a+b+c=0.知a＞0,c＜0必小于零，又=＞=－2故另一根∈(－2，0).由已知f(m1)、f(m2)中至少有一个等于－a＜0，故f(x)的最小值C－≤－a.即4ac+4a2=b2.－4ab≤b2.b≥0或b≤－4a.但若b≤－4a则c＜b≤－4a.0=a+b+c＜－7a＜0矛盾.∴b≥0.不妨设f(m1)=－a＜0.则m1∈(－2，1)于是