2012届高考理科数学第一轮总复习-复数.doc

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1、2012届高考理科数学第一轮总复习:复数第十五　复　数高考导航考试要求重难点击命题展望　　1理解复数的基本概念、复数相等的充要条2了解复数的代数表示法及其几何意义3会进行复数代数形式的四则运算了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义4了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用　　本重点：1复数的有关概念；2复数代数形式的四则运算本难点：运用复数的有关概念解题　　近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位知识网络11　复数的概念

2、及其运算典例精析题型一　复数的概念【例1】(1)如果复数(2＋i)(1＋i)是实数，则实数＝　　　　　；(2)在复平面内，复数1＋ii对应的点位于第　　　象限；(3)复数z＝3i＋1的共轭复数为z＝　　　　　【解析】(1)(2＋i)(1＋i)＝2－＋(1＋3)i是实数ͤ1＋3＝0ͤ＝－1(2)因为1＋ii＝i(1＋i)i2＝1－i，所以在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限(3)因为z＝1＋3i，所以z＝1－3i【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念【变式训练1】

3、(1)如果z＝1－ai1＋ai为纯虚数，则实数a等于(　　)A0B－11D－1或1(2)在复平面内，复数z＝1－ii(i是虚数单位)对应的点位于(　　)A第一象限B第二象限第三象限D第四象限【解析】(1)设z＝xi，x≠0，则xi＝1－ai1＋ai⇔1＋ax－(a＋x)i＝0⇔⇔或故选D(2)z＝1－ii＝(1－i)(－i)＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限故选题型二　复数的相等【例2】(1)已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z•z0＝3z＋z0，则复数z＝　　　　　；(2)已知1＋i＝1－ni，其中，n是实数，i是虚数单位，则＋n

4、i＝　　　　　；(3)已知关于x的方程x2＋(＋2i)x＋2＋i＝0有实根，则这个实根为　　　　　，实数的值为　　　　【解析】(1)设z＝x＋i(x，∈R)，又z0＝3＋2i，代入z•z0＝3z＋z0得(x＋i)(3＋2i)＝3(x＋i)＋3＋2i，整理得(2＋3)＋(2－2x)i＝0，则由复数相等的条得解得所以z＝1－(2)由已知得＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i则由复数相等的条得所以＋ni＝2＋i(3)设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得由复数相等的充要条得解得或所以方程的实根为x＝2或x＝－2，相应的值为＝－22或＝22【点拨】复数相等须先化为

5、z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若1＋2i1＋i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是(　　)A－12B－22D12(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝　　　　【解析】(1)1＋2i1＋i＝(1＋2i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋i2，于是a＋b＝32＋12＝2(2)32＋ai＝b＋iͤa＝1，b＝2题型三　复数的运算【例3】(1)若复数z＝－12＋32i，则1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008＝　　　　　；(2)设复数z满足z＋

6、z

7、＝2＋i，那么z＝

8、　　　　　【解析】(1)由已知得z2＝－12－32i，z3＝1，z4＝－12＋32i＝z所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2008＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2006＋z2007＋z2008)＝1＋z＝12＋32i(2)设z＝x＋i(x，∈R)，则x＋i＋x2＋2＝2＋i，所以解得所以z＝＋i【点拨】解(1)时要注意x3＝1⇔(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三个根为1，ω，ω－，其中ω＝－12＋32i，ω－＝－12－32i，则1＋ω＋ω2＝0，1＋ω－＋ω－2＝0，ω3＝1，ω－3＝1，ω•ω－＝1，

9、ω2＝ω－，ω－2＝ω解(2)时要注意

10、z

11、∈R，所以须令z＝x＋i【变式训练3】(1)复数11＋i＋i2等于(　　)A1＋i2B1－i2－12D12(2)(2010江西鹰潭)已知复数z＝23－i1＋23i＋(21－i)2010，则复数z等于(　　)A0B2－2iD2i【解析】(1)D计算容易有11＋i＋i2＝12(2)A总结提高复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化因此，一