数字信号处理教案(第3次课)

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1、第1章离散时间信号与系统1.2离散信号的DTFT与z变换一、离散信号的DTFT变换离散信兮(数字序列)的DTFT定义，J=-OO数字序列的IDTFT变换定义x(n)=—^X(eja,)ej(aideoDTFT屮的级数求和不一定总足收敛的，若x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛(充分条件)。另外，平方可和序列的DTFT也存在，耍强调的足平力*可和序列不一定满足绝对可和的条件值得指出：(1)由于ejco=ej((o+27r}，所以是以2为周期的周期函数。(2)DTFTX(ejo))=Ix(n)e_j⑽Z!=—oo是周期函数X(ejM)的付氏级数展开，而x(n)是付

2、氏级数的系数。这一概念在以后滤波器没计中冇用。DTFT的-些主要性质见表1.2。二、z变换定义利川差分方程吋求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些ffi要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散吋问系统的z变换(类似于模拟系统的拉氏变换)，它是分析离散系统和离散信号的重要工具。一个离散序列x(n)的Z变换定义为x(z)=^X(/2)Z-其屮2为复变ffi,以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平而为Z平而。这种变换也称为双边z变换，与此相应还布单边z变换，单边z变换只足对单边序列(n>=0部分)进行变换的z变换，K定义为X(Z)=［叉⑻ri=0单边Z变换只

3、在少数情况下与双边Z变换有所K别，即序列的起始条件不同，UJ以把单边Z变换看成是双边Z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。三、L变换的收敛域(}=y(}-n一般，序列的Z变换并不一定对任何z位都收敛，z平Iflf上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我1门知道，级数•致收敛的条件足绝对值可和，因此Z平凼的收敛域应满足^

4、x(Z2)Z_，，

5、

6、x(n)z_,,

7、=⑻

8、

9、z「＜oo"=-ooH=-OO因此，

10、z

11、值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为Rx-〈

12、z

13、

14、为半径的两个

15、糾所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的人小，即收敛域的位昔与具体序列有关，特殊情况为Rx-等于0,Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。四种常用序列的收敛域：有限序列、左边序列、右边序列、双边序列。例：z变换及收敛域的求法(1)序列x(n)=anu(n)的z变换及收敛域。w=0n=O-az~1-az~1当

16、az-l

17、

18、z

19、>

20、a

21、时，(az-l)oo=0,此时X⑵为：X(z)=.-11—CIZZ变换小结•Z变换收敛域的特点：1)收敛域是一个圆环，有吋可向内收缩到原点，有吋讨向外扩展到只有X(n)=6(n)的收

22、敛域是整个z平面。2)在收敛域内没有极点，X(z)在收敛域内每一点上都是解析函数。•Z变换表示法：级数形式解析表达式(注意:只表示收敛域上的W数，要同时注明收敛域)四、逆z变换已知M数X(z)及苏收敛域，反过來求序列X⑻的变换称为逆2变换，常用Z-l[x⑵]表示。若OOX(z)=x(n)z~nRx_<

23、z

24、

25、-•般不采川此法求Z反变换，求解逆Z变换的常用方法有：1、幂级数2、留数定律法3、部分分式法比较:荇先，围线积分法、部分分式法和长除法均可以用来计算z的反变换。围线积分法然概念淸晰，仴计算复杂，所以并不常用；相比之下，部分分式法计算起来就容易许多，仴前提足X(z)是一个较荞撼被冈式分解的有理分式；长除法大多川在工程实践中，当X(z)很难被闪式分解，且工程不耍求反变换的结果很精确或能用解析式表示时，则通常选择长除法。部分分式展开法1、概念：一般，X(z)都是z的有理分式，可表示成:X(z)=我们可以将X(z)展开成部分分式的形式，然后求每个部分分式的Z帝換。X(z)

26、g⑴A(z)Xj(z)+X2(^)+."+(z)即：x(ri)=Z][X,(z)]+Z_l[X2(z)]+...+Z-'[X,(z)]常用序列Z变换(可直接使用)u(n)z-1I—Zanu(n)<->—-—1<

27、Z

28、

29、Z

30、

31、<

32、z

33、

34、2=?.=玄对/?>—•一