《迭代改善法》ppt课件

《《迭代改善法》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.6.2迭代改善法设，其中为非奇异矩阵，且为病态方程组(但不过分病态).本节研究的问题是，当求得方程组的近似解后，首先用选主元三角分解法实现分解计算其中为置换阵，为单位下三角阵，为上三角阵，且求得计算解.如何对其精度进行改善.1计算剩余向量（6.14）现利用的剩余向量来提高的精度.求解,得到的解记为.（6.15）然后改善如果(6.14)，(6.15)及解的计算没有误差，则说明就是的精确解.2但在实际计算中，由于有舍入误差，只是方程组的近似解，重复(6.14)，(6.15)的过程，就产生一近似解序列，有时可能得到比较好的近似.算法5设，其中为非奇异矩阵，且为病态方程组(但不过分病态)，用选

2、主元分解法得到及计算解.本算法用迭代改善法提高近似解的精度.(迭代改善法)设计算机字长为，用数组保存元素，数组保存三角矩阵及，用记录行交换信息，3存贮及,保存或.1.用选主元三角分解实行分解计算且求计算解(用单精度)2.对于(1)计算(用原始及双精度计算)(2)求解,即(用单精度)(3)如果则输出,停机(4)改善(用单精度计算)43.输出迭代改善方法迭代次失败信息当不是过分病态时，迭代改善法是比较好的改进近似解精度的一种方法，当非常病态时，可能不收敛.例11(这里，用5位浮点数运算).用迭代改善法解5解精确解(舍入到小数后首先实现分解计算,且求第4位).计算解应用迭代改善法需要用原始矩

3、阵且用双倍字长精度计算剩余向量，其他计算用单精度.6计算结果如下表.如果需要更多的数位，迭代可以继续.75.7矩阵的正交三角化及应用85.7.1初等反射阵定义9设向量且，为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德（Householder）变换).如果记,则称矩阵9定理25设有初等反射阵,(1)是对称矩阵，即(2)是正交矩阵，即(3)设为对称矩阵，那么亦是对称矩阵.证明只证的正交性，其他都可通过验证得到.其中则：10是一个初等反射阵.初等反射阵的几何意义.考虑以为法向量且过原点的超平面.设任意向量，则,其中.设向量,则显然于是11图5-1对于，从而对任意向量，其中为关于平面S的镜面反射(见图5

4、-1).总有12定理26设为两个不相等的维向量，则存在一个初等反射阵，证明令，而且使则得到一个初等反射阵13因为所以是使成立的唯一长度等于1的向量(不计符号).定理27设，则存在初等反射阵,使，(约化定理)其中14证明记,设,取，于是由定理22存在变换其中,使记其中则有于是显然15如果和异号，那么计算时有可能出现两相近数相减的情况，有效数字可能损失.取和有相同的符号，即取在计算时，为了避免上溢或下溢，将规范化16则有使,其中算法6设，及,本算法计算的分量冲掉的分量.使17关于的计算，设,为的第列向量，其中则因此计算就是要计算于是计算只需计算两向量的数量积和两向量的加法.计算只需作次乘法

5、运算.185.7.2平面旋转矩阵设,则变换是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵.19其中中变换：而20称为中平面的旋转变换(或称为吉文斯（Givens）变换)，称为平面旋转矩阵.显然，具有性质：(1)与单位阵只是在位置元素不一样，其他相同.(2)为正交矩阵(3)(左乘)只需计算第行与第行元素，即对有21其中(4)(右乘)只需计算第列与第列元素利用平面旋转变换，可使向量中的指定元素变为零.22其中证明取.由,定理28设,其中不全为零，则可选择平面旋转阵,(约化定理)使利用矩阵乘法，显然有23由的取法得245.7.3矩阵的QR分解设且为非零矩阵，则存在初等反射阵设使25如果,取，(

6、1)第1步约化：即这一步不需要约化，不妨设，于是可选取初等反射阵,于是使其中26(2)第步约化：设已完成对上述第1步…第步的约化，再进行第步约化.即存在初等反射阵使其中27其中为阶上三角阵，不妨设，(如果列满秩，则).于是，可选取初等反射阵使令否则这一步不需要约化28第步约化为这就使的三角化过程前进了一步.其中左上角的阶子矩阵为阶上三角阵.令，继续上述过程，最后有29第步需要计算及，第步约化大约需要次乘法运算.定理29且计算量约为(当)次乘法运算.(矩阵的正交约化)设且则存在初等反射阵使30定理30初等反射阵(1)设且的秩为，其中为阶非奇异上三角阵.(2)设为非奇异矩阵，则有分解其中

7、为正交矩阵，为上三角矩阵.当具有正对角元时，分解唯一.(矩阵的QR分解)则存在使31(2)由设及定理29，存在初等反射阵记,即其中为正交矩阵，为上三角阵.证明(1)由定理29可得.使则上式为32唯一性.设有其中为正交阵，为非奇异上三角阵，且具有正对角元素，由假设及对称正定矩阵的Cholesky分解的唯一性，则.也可以用平面旋转变换来约化矩阵.则从而可得33定理31(1)存在正交矩阵设为非奇异矩阵，(用吉文斯变换计算矩阵