2015年考研数学一真题及答案解析

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为()(A)(B)(C)(D)【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则()(A)(B)(C)(D)【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题，再将特解代入得.故选（A）(3)若级数条件收敛，则与依次为幂级数的()(A)收敛点，收敛点(B)收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是。因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）。(4)设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则()(A)(B)(C)(D)【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题【解析】先画出D的图形，所以，故选（B）(5)设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为()(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】，由，故或，同时或。故选（D）(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为()(A)13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(B)(C)(D)【答案】(A)【解析】由，故.且.所以。选（A）(7)若A,B为任意两个随机事件，则()(A)(B)(C)(D)【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)设随机变量不相关，且，则()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题【解析】，选(D).二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)【答案】【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：（罗比达法则）方法二：（等价无穷小替换）(10)【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】(11)若函数由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题又当时，即.所以，因而(12)设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得，其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以(13)阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】【解析】由题设知，，而且相互独立，从而.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：原式（泰勒展开法）即(16)(本题满分10分)设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题【答案】.【解析】设在点处的切线方程为：令，得到，故由题意，，即，可以转化为一阶微分方程，即，dxdy=8y2，两边同时积分可得x=-8y+c，将f0=2，代入上式可得c=4即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.，故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：，得到.13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题所以最大值为.(18)(本题满分10分)（I）设函数可导，利用导数定义证明（II）设函数可导，，写出的求导公式.【解析】（I）（II）由题意得(19)(本题满分10分)已知曲线L的方程为起点为，终点为，计算曲线积分.【答案】【解析】由题意假设参数方程，13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题(20)(本题满11分)设向量组内的一个基，，，.（I）证明向量组为的一个基;（II）当k为何值时，存在非0向量在基与基下的坐标相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)证明：故为的一个基.（II）由题意知，即即13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题即，得k=0(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；（II）求可逆矩阵，使为对角矩阵..【解析】(I)A~B，可得a+3=b+2(II)的特征值时的基础解系为时的基础解系为13 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题A的特征值令，(22)(本题满分11分)设随机变量的概率密度为对X进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数。(I)求Y的概率分布；(II)求EY【解析】(I)记p为观测值大于3的概率，则，从而的概率分布为：，(II)：EY=n=2∞n∙PY=n=n=2∞n∙(n-1)∙(18)2∙(78)n-2=164n=2∞n∙(n-1)∙(78)n-2令：Sx=n=2∞n∙(n-1)∙xn-2-1