直线相关与回归分析

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1、第十章一元回归与相关分析概述：许多问题需要研究多个变量之间的关系，例如生物的生长发育速度就与温度，营养，湿度等许多因素有关。相关关系：两变量X，Y均为随机变量，任一变量的每一可能值都有另一变量的一个确定分布与之对应。回归关系：X是非随机变量（如施肥）或随机变量（如穗长），Y是随机变量，对X的每一确定值xi都有Y的一个确定分布与之对应。区别：1.相关中的两个变量地位对称，互为因果；回归中X是自变量，Y是因变量。两种意义不同，分析的数学概念与推导过程不同，但如果使用共同标准即使y的残差平方和最小（最小二乘法），可得到相同的参数估计式。因此主要讨

2、论X为非随机变量（不包含有随机误差）的情况，所得到的参数估计式也可用于X为随机变量的情况。2.分析目的不同。回归分析是建立X与Y之间的数学关系式，用于预测；而相关分析研究X与Y两个随机变量之间的共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化，以及这种共变关系的强弱。分类：从两个变量间相关（或回归）的程度分三种：（1）完全相关。一个变量的值确定后，另一个变量的值可通过公式求出（函数关系）；生物学研究中不太多见。（2）不相关。变量之间完全没有任何关系。一个变量的值不能提供另一个变量的任何信息。（3）统计相关（不完全相关）。介于上述两情况之间。知道一个变

3、量的值通过某种公式就可以提供另一个变量的均值的信息。一个变量的取值不完全决定另一个变量的取值，但可或多或少地决定它的分布。科研中最常遇到。研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。对两个变量间的直线关系进行相关分析称为直线相关分析；研究一个变量与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相关称为偏相

4、关分析。注意：1.相关与回归只是一种工具，不是不相干的数据拼凑在一起。2.除X、Y等需研究的因素外，其他的要严格控制一致。（身高与胸围的关系要控制体重）3.对子一般在5对以上4.需限制自变量范围，结果不能随意外延。第一节一元线性回归（一）直线回归方程的建立对于两个相关变量，一个变量用x表示，另一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两个变量的n对观测值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）为直观看出x和y间的变化趋势，可将每一对观测值在平面直角坐标系描点，作出散点图例11.1对大白鼠从出生第6天起，每三天称一次体重，直到第1

5、8天。数据见表11.1。试计算日龄X与体重Y之间的回归方程。表11.1大白鼠6-18日龄的体重序号12345日龄xi69121518体重yi1116.5222629散点图对X、Y之间的关系有直观的、整体上的印象，但是否有某种规律性，是接近一条直线还是一条曲线等，哪一条直线或曲线可以最好地代表X,Y之间的关系，不能做出判断。图11.1大白鼠日龄—体重关系图一、一元正态线性回归统计模型：对于每个Y的观察值yi来说，由于总是带有随机误差，观察值就应该是在均值的基础上再加上一个随机误差，即：（11.2）其中。随机误差服从正态分布。这是一元正态线性回

6、归的统计模型。二、参数α和β的估计模型中的α和β是参数，一般不知道。由于只能得到有限的观察数据，无法算出准确的α与β的值，只能求出估计值a和b，并得到yi的估计值为：（11.3）a和b应使残差最小。为了避免使正负ei互相抵消，定义使残差平方和达到最小的直线为回归线，即令：，且SSe对a、b的一阶偏导数等于0得：整理后，得（11.4）解此方程，得：这种方法称为最小二乘法记，称为X的校正平方和；，称为Y的总校正平方和；，称为校正交叉乘积和，则：（11.7）a叫样本回归截距，是回归直线与y轴交点的纵坐标，当x=0时，=a；b叫样本回归系数，表示x

7、改变一个单位，y平均改变的数量；b的符号反映了x影响y的性质，b的绝对值大小反映了x影响y的程度;叫做回归估计值，是当x在在其研究范围内取某一个值时，y值平均数α＋βx的估计值回归方程的基本性质：1最小2＝03.直线通过（，）转化后得到回归方程的另一种形式(中心化形式)：在实际计算时，可采用以下公式：例11.1对大白鼠从出生第6天起，每三天称一次体重，直到第18天。数据见表11.1。试计算日龄X与体重Y之间的回归方程。表5.1大白鼠6-18日龄的体重序号12345日龄xi69121518体重yi1116.5222629解：把数据代入上述公式

8、,得：即：所求的回归方程为：y=2.6996+1.5167x带有统计功能的计算器，只需把数据依次输入，然后按一下键就可得到上述结果。根据直线回归方程可作回归直线，并不是所有的散点