七桥问题与一笔画63790

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1、七桥问题一笔画哥尼斯堡七桥猜想这个问题初看起来似乎不太难，所以很多人都想试一试，寻找这种走法，但谁出找不出问题的答案，均以失败告终。当时大数学家殴拉从众多人的失败中想到，这样的走法可能就根本不存在，随后他用数学的方法证实了自己的猜想是正确的，并于1736年发表了图论（组合数学的一个分支）的第一篇论文“哥尼斯堡的七座桥”。哥尼斯堡七桥问题故事发生在18世纪欧洲东普鲁士（现为俄罗斯的加里宁格勒）有个名叫哥尼斯堡的城市近郊。这里的普雷盖尔河穿城而过，河中有两个岛，两岸与两岛之间架有七座桥（如图）。当时城中居民热烈地

2、讨论着这样一个问题：一个散步者怎样走才能不重复地走遍所有的七座桥而回到原出发点？欧拉首先考虑到，由于关心的是能否不重复地走完七座桥而对于桥的长短，岛的大小等因素都不重要，因此可进行简化假设，不考虑陆地的地形，不考虑桥的形状及长短，把四块陆地用4个点A、B、C、D来表示，七座桥用相应的点之间的连线（曲线段或直线段）表示。问题转换成从某个点出发能否不重复地把图形一笔画出来。这样便简化了原问题而突出了问题实质。七桥问题就抽象成通常所说的一笔画问题，即下笔后再不能离开纸，每一条不能重复，只画一次，画时任两条线允许交叉

3、而过。十八世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？问题情景这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这

4、一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。用多种方法证明了费马小定理。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见，与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了许多数

5、学符号，例如π（1736年），e（1748年），sin和cos（1748年），△x（1755年），f（x）（1734年）等等。数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、C、D分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？●点A、B表示岛点C。D表示岸▎线表示桥问题分析ACDB①有奇数条边相连的点叫奇点。如：③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。2、每条线都只能画一次而不能重复。问题分析问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。●●●②有偶数条边相连的点叫偶点。如：●

6、●●活动探究下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪些可以一笔画出，请填表，从中你能发现什么规律？奇点个数偶点个数能否一笔画图⑴图⑵图⑶图⑷●●ABABCDE●●●●●●A●②若奇点个数为2，可选其中一个奇点做起点，而终点一定是另一个奇点，即一笔画后不可以回到出发点。总结规律①可以一笔画成的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关。也就是说，凡是图形中没有奇点的（奇点个数为0），可选任一个点做起点，且一笔画后可以回到出发点。③凡是图形中有2个以上奇点的，不能完成一笔画。用你发现的规律，说一说七桥问题

7、的答案？由于七桥问题中的四个点都是奇点，因此可以判断它是无法一笔画出来的，也就是说根本不存在能不重复走遍七座桥的路线！课堂练习1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？菜市场小广场文具店超市电器城服装城2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？课堂练习BACDEFG●●●●●●●课堂练习3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后

8、都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？操作体验下列图形能不能用一笔画出来？对于图形的结构作些分析可以看出，除去起点或终点外，凡途径的点都应有进有出，即连接点的曲线必须是偶数条，我们可以把这类型的点叫偶点，因为只有起点或终点才可能有进无出或有出无进，这时可能有奇数条曲线与这样的点连接，这样的点叫做奇点，这说明，要想一笔不重复地画出图形，奇点的个数要么0个，要么2个，而在图中4个点都是