高一数学竞赛培训讲座

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1、函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》.例题：1.已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)()A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1

2、，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C2.设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋3)＝－f(x)，当0≤x≤时，f(x)＝x，则f(2003)＝()A.－1B.0C.1D.2003解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)∴f(x)的周期为6f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1选A3.定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.C.152

3、D.提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x＝于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.即有一个根就是，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x＝对称利用中点坐标公式，这100个根的和等于×100＝150所有101个根的和为×101＝.选B1.实数x，y满足x2＝2xsin(xy)－1，则x1998＋6sin5y＝______________.解：如果x、y不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法(x－sin(xy))2＋cos2(xy)＝0∴x＝sin(xy)且cos(xy)＝0∴

4、x＝sin(xy)＝±1∴siny＝1xsin(xy)＝1原式＝72.已知x＝是方程x4＋bx2＋c＝0的根，b，c为整数，则b＋c＝__________.解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？)由已知变形得x－∴x2－2x＋19＝99即x2－80＝2x再平方得x4－160x2＋6400＝76x2即x4－236x2＋6400＝0∴b＝－236，c＝6400b＋c＝61643.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4.证法一：由已知条件可得△＝b2－4ac≥

5、0①f⑴＝a＋b＋c＞1②f(0)＝c＞1③0＜－＜1④b2≥4acb＞1－a－cc＞1b＜0(∵a＞0)于是－b≥2所以a＋c－1＞－b≥2∴()2＞1∴＞1于是＋1＞2∴a＞4证法二：设f(x)的两个根为x1，x2，则f(x)＝a(x－x1)(x－x2)f⑴＝a(1－x1)(1－x2)＞1f(0)＝ax1x2＞1由基本不等式x1(1－x1)x2(1－x2)≤[(x1＋(1－x1)＋x2＋(1－x2))]4＝()2∴≥a2x1(1－x1)x2(1－x2)＞1∴a2＞16∴a＞41.已知f(x)＝x2＋ax＋b(－1≤x≤1)，若

6、f

7、(x)

8、的最大值为M，求证：M≥.解：M＝

9、f(x)

10、max＝max{

11、f⑴

12、，

13、f(－1)

14、，

15、f(－)

16、}⑴若

17、－

18、≥1(对称轴不在定义域内部)则M＝max{

19、f⑴

20、，

21、f(－1)

22、}而f⑴＝1＋a＋bf(－1)＝1－a＋b

23、f⑴

24、＋

25、f(－1)

26、≥

27、f⑴＋f(－1)

28、＝2

29、a

30、≥4则

31、f⑴

32、和

33、f(－1)

34、中至少有一个不小于2∴M≥2＞⑵

35、－

36、＜1M＝max{

37、f⑴

38、，

39、f(－1)

40、，

41、f(－)

42、}＝max{

43、1＋a＋b

44、，

45、1－a＋b

46、，

47、－＋b

48、}＝max{

49、1＋a＋b

50、，

51、1－a＋b

52、，

53、－＋b

54、，

55、－＋b

56、}≥(

57、1＋a

58、＋b

59、＋

60、1－a＋b

61、＋

62、－＋b

63、＋

64、－＋b

65、)≥[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.1.⑴解方程:(x＋8)2001＋x2001＋2x＋8＝0⑵解方程：⑴解：原方程化为(x＋8)2001＋(x＋8)＋x2001＋x＝0即(x＋8)2001＋(x＋8)＝(－x)2001＋(－x)构造函数f(x)＝x2001＋x原方程等价于f(x＋8)＝f(－x)而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数于是有x＋8＝－xx＝－4为原方程的解⑵两边取以2为底的对数得于是f(2x)＝f(x2＋1)易证

66、：f(x)世纪函数，且是R上的增函数，所以：2x＝x2＋1解得：x＝12.设f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋cx＋d，f⑴＝1，f⑵＝2，f⑶＝3，求[f⑷＋f(0)]的值.解：由已知，方程f(x)＝x已知有三个解，设第