分块矩阵初等变换及其应用2

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1、扬州市职业大学毕业设计（论文）分块矩阵的初等变换及其应用系别：数学系1专业：数学教育班级：08数学教育班姓名：孙晶晶学号：0814010123指导教师：刘桂香完成时间：2011年5月分块矩阵的初等变换及其应用08数学教育孙晶晶摘要：求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩是高等代数中常见的问题。而对于高阶矩阵而言，这些问题的求解往往过于繁琐，甚至无法求解。但如果利用矩阵分块的方法，把矩阵的初等变换的思想和方法运用于分块矩阵，则可起到事半功倍的效果。本文总结了分块矩阵的初等变换的性质以及分块初等变换在求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩等方面的应用。关键词：分块矩阵初等变换应用1分块

2、矩阵及初等变换1.1分块矩阵的定义把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵，然后把每个小矩阵看成一个元素，这样得到的矩阵称为分块矩阵。特殊的，如果分块矩阵的非零子矩阵都在对角线上，就称为分块对角矩阵（准对角矩阵）。如：C==是一分块矩阵，其中，E1、E2、A、B均表示的是一个矩阵。1.2分块矩阵的运算与普通矩阵的运算完全相同，只须将进行运算的矩阵适当分块，则有类似于数字矩阵的运算。加法：已知A=（aij）s×n,B=(bij)s×n,且A与B的分法相同，即A=（Aij）t×r,B=(Bij)t×r,其中Aij与Bij级数相同,则A+B=（Aij+Bij)t×r.乘法：已知A=

3、（aij）s×n,B=(bij)s×n,且A的列的分法与B的行的分法相一致,A=（Aij）t×k,B=(Bij)k×r,则A·B=C=(Cij)t×r.其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+…+AimBmj（i、j=1、2、3…n）数乘：已知A=(Aij）r×s,则kA=（kAij）r×s.④转置：若A=（Aij）s×n,则AT=（ATij）n×s.1.3分块矩阵初等变换分块矩阵的初等变换与普通矩阵的初等变换类似，也具有三种类型：换法变换：交换分块矩阵的j，k两行（列），记作[j,k]({i,j}).如.倍法变换：用一个可逆矩阵P左（右）乘分块矩阵的第i行（列）,记作[i

4、(P)]({i(P)}).如.消法变换：用一个矩阵P左（右）乘分块矩阵的第i行（列）后加到第k行（列），记作[i(P)+k]({i(P)+k}).如.1.4分块初等矩阵将单位矩阵如下进行分块,对分块后的单位矩阵做一次分块初等变换所得的矩阵称之为分块初等矩阵。根据所做的分块初等变换不同，分块初等矩阵有如下三种类型：；或；或.其中Q为可逆矩阵。2分块初等矩阵的性质性质1分块初等矩阵均为可逆的，且逆矩阵仍为分块初等矩阵。如;;.根据分块矩阵初等变换的定义易得性质2分块初等矩阵的转置仍为初等矩阵。如;;.性质3设A为分块矩阵，则对A施行一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘

5、以一个对应的分块初等矩阵。如,而;,而.,而.性质4分块矩阵左（右）乘一个分块初等矩阵，分块矩阵的秩不变。3分块矩阵初等变换的应用求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩是高等代数中常见的问题。而对于高阶矩阵而言，这些问题的求解往往过于繁琐，甚至无法求解。但如果利用矩阵分块的方法，把矩阵的初等变换的思想和方法运用于分块矩阵，则可起到事半功倍的效果。3.1分块矩阵在行列式计算中的应用在计算高阶矩阵行列式时，通常将矩阵分块，利用分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式，再利用三角形矩阵、准对角形矩阵行列式的性质计算。例1设A、B均为n×n阵，证明行列式的乘积公式证明作

6、，则.又，所以,,,所以.例2A、B、C、D均为n阶矩阵，其中A可逆，则.证明因为所以,.例3求行列式的值.解将P进行分块，得，其中A=,B=,C=,D=.由例2得=.3.2分块矩阵在求逆矩阵中的应用在计算高阶矩阵的逆矩阵时，通常将矩阵分块，利用分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式，再利用三角形矩阵、准对角形矩阵逆的性质计算。例4若,且A，D可逆，求T-1.解因为,.所以.例5已知A、B、C、D均为n阶矩阵，其中A可逆，D-CA-1B可逆，求.证明因为，.所以.例6设,求P-1.解将P分块=,其中A=,B=,C=,D=.由例5可知.3.3分块矩阵在证明矩

7、阵秩中的应用在计算高阶矩阵秩时，通常将矩阵分块，利用分块矩阵的初等变换将其化为三角矩阵（或准对角矩阵）的形式，再利用三角形矩阵、准对角形矩阵秩的性质计算。例7设A、B为n×n矩阵，证明：如果AB=0，那么秩（A）＋秩（B)n.证明因为=，,所以.又，.例8设A为n阶矩阵，则.证明对矩阵A的阶数k用数学归纳法。当k=1时,,结论成立。若k=n-1,结论成立。当k=n时，若.不妨设，.本文介绍了利用矩阵分块的方法，求矩阵的逆、矩阵的行列式、矩阵的秩问题，然而矩阵分块的思想方法在矩阵的正定性、特征值等方面应用也很广泛，本