06 第六节 微分法在几何上应用

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1、第六节微分法在几何上的应用分布图示★空间曲线的切线与法平面★例1★空间曲线的切线与法平面(续)★例2★例3★例4★空间曲面的切平面与法线★空间曲面的切平面与法线(续)★全微分的几何意义★曲面的法向量的方向余弦★例5★例6★例7★例8★内容小结★课堂练习★习题9—6★返回内容要点一、空间曲线的切线与法平面：曲线在点处的切线方程为(6.2)曲线在某点处的切线的方向向量称为曲线的切向量.向量就是曲线在点处的一个切向量.过点且与切线垂直的平面称为曲线在点的法平面.曲线的切向量就是法平面的法向量，于是这法平面的方程为(6.3)空间曲线的方程为的情形；空间曲线的方程为的情

2、形；二、空间曲面的切平面与法线：切平面的方程为(6.12)称曲面在点处切平面的法向量为在点处曲面的法向量，于是，在点处曲面的法向量为(6.13)过点且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.因此法线方程为(6.14)曲面方程为的情形；设表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量与轴正向的夹角是一锐角，则法向量的方向余弦为其中例题选讲空间曲线的切线与法平面例1(E01)求曲线在处的切线和法平面方程.解当时，切线方程法平面方程即例2（E02）求曲线在点处的切线及法平面方程.解设则故故所求的切线方程为法平面方程为即例3（E03）求曲线在点处的切线及法平面方程.解1直接利

3、用公式;解2将所给方程的两边对求导并移项,得由此得切向量所求切线方程为法平面方程为即例4求出曲线上的点，使在该点的切线平行于已知平面解设所求切点为则曲线在该点的切线向量为由于切线平行于已知平面因而垂直于已知平面的法线向量故有即或将它代入曲线方程,求得切点为和空间曲面的切平面与法线例5（E04）求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.解令切平面方程为即法线方程为例6求曲面在点处的切平面及法线方程.解令切平面方程为即法线方程为例7求曲面平行于平面的各切平面方程.解设为曲面上的切点,则切平面方程为依题意,切平面方程平行于已知平面,得是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得

4、故所求切点为切平面方程(1)即切平面方程(2)即例8（E05）求曲面上同时垂直于平面与的切平面方程.解设则曲面在点的法线向量为由于平面的法线向量平面的法线向量而同时垂直于与所以平行于但所以存在数使得即解之得将其代入原曲面方程,求得切点为和因而,所求的切平面方程为:即和即课堂练习1.求曲线在对应于的点处的切线方程及法平面方程.2.若平面与椭球面相切,求