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1、高等数学汤冬梅E-mail:tdm1230@xmut.edu.cn成绩的评定满分100分＝期末60%+期中20%+平时成绩20%第一章函数,极限与连续第一章二、映射三、函数一、集合第一节机动目录上页下页返回结束映射与函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作..注:M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.机动目录上页下页返回结束注：集合通常用大写拉丁字母A，B，C…表示，集合中的每个元素通常用小写拉丁字母a,b,c…..表示。集合中的元素个数
2、有限的称为有限集，例如一个班集体。集合中的元素个数无限的称为无限集，例如实数集。2.表示集合的两种方法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征例:整数集合或有理数集p与q互质实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间机动目录上页下页返回结束特殊的集合:无限区间点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心邻域左邻域:右邻域:机动目录上页下页返回结束是B的子集,或称B包含A,3.集合之间的关系定义则称A若且则称A与B相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有机动目录上页下页返回结束若且，则称A是B的真子
3、集，记4.集合的运算(运算满足的一些性质)并集交集且差集且全集或基本集：Ａ余集或补集：直积特例:记为平面上的全体点集机动目录上页下页返回结束或二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动目录上页下页返回结束引例定义.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一
4、.机动目录上页下页返回结束对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.机动目录上页下页返回结束2.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称此映射为f的逆映射.机动目录上页下页返回结束(2)复合映射机动目录上页下页返回结束手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或机动目录上页下页返回结束注意:构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D上的函数,记
5、为f(D)称为值域函数图形:机动目录上页下页返回结束自变量因变量符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当机动目录上页下页返回结束常见函数：(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值定义域函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域机动目录上页下页返回结束2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(2)单调性为有界函数.使若对任意正数M,均存在则称f(x)无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.机动目录上页下页返回结束使称在I上有界.
6、(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记机动目录上页下页返回结束又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记机动目录上页下页返回结束(4)周期性存在l,对于x,则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数机动目录上页下页返回结束3.反函数与复合函数复合函数：定义：设函数的定义域为，函数在上有定义，且，则复合映射称为函数和构成的复合函数，其中变量ｕ称为中间变量。注：复合函数是复合映射的特例。复合条件：
7、（2）反函数：若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.机动目录上页下页返回结束其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动目录上页下页返回结束指数函数4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一
