a-对象在一阶逻辑中的引入及其语义

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1、A-对象在一阶逻辑中的引入及其语义哲学系逻辑学04硕臧勇10423029一、问题的产生集合论中，我们熟悉的一个定理是“所有良序集都同构于一个唯一的序数”，我们进行论证，通常是采取这种方式“任取一个良序集，按如下方式构造一个与其同构的序数……”，然后经过一系列的步骤，完成这个论证。再例如下面这个常见的例子。设想在欧氏几何中我们要证明“所有的三角形其内角和都是180度”，我们会按如下步骤进行：设ABC是一个三角形，然后画出辅助线，并依据平行线公理，证得ABC内角和是180度，然后得出结论“所有三角形其内角和都是180度”。一般的，在数学论证中，面对一个全称命题，我们经常会采用这种

2、方式展开：要证对所有对象P成立，任取一个对象a，然后经过一段论证，得到Pa，则得出结论对所有对象成立。这里自然会引发出一系列的问题，比如：这里的ABC是什么？[是否]是某个三角形的专名（propername）？还是三角形这个类的通名？直观上看来，这个ABC指某个三角形，但又不指一个特定的、带有特殊性质的三角形——这里涉及的是一个“任意的”三角形，否则我们无法从它做出全称概括。那么，这样的任意三角形是什么？它属于三角形的类吗？一般而言，一个与某个类相关的任意对象是什么？在对这些问题展开讨论以前，先介绍一个带有A-对象（arbitraryobjects）的一阶逻辑系统，以求对问题

3、有进一步的了解。这个系统把“任意的某某”作为语义上的对象来处理。准确地说，这是一个带有A-名字的一阶逻辑系统，作为语义的A-对象，在语法系统中表现为A-名字（A-names）或者A-字母（A-letters），具体内容如下。二、一个引入A-名字的一阶逻辑系统Lemmon在其《逻辑初步》（1981）中，构造了一个带有A-名字的一阶逻辑系统。其基本构造如下在：首先，引入专名(propername)，标记如下：m，n，……。其次，引入A-名字（arbitraryname），标记如下：a，b，c，……。第三，引入个体变元（individualvariable），标记如下：x，y，z，

4、……。第四，引入谓词符号（predicate-letter），标记如下：F，G，H，……。第五，引入存在量词符号$。第六，定义一个项（term）为一个专名或A-名字。第七，定义一个符号（symbol）为一个括号，逻辑联结词，项，个体变元，谓词符，或者存在量词符。第八，定义公式（formula）为任一符号序列（anysequenceofsymbols）。完成这几个步骤以后，就需要对合式公式（well-formedformula）进行定义。为此，作者先对原子句（atomicsentence）进行了定义。在元语言意义上，P是一个n元谓词，t1，……,tn是n个项，则Pt1…tn称为

5、一个原子句。注意，按此定义，以前我们熟悉的Fx不是原子句，因为个体变元x不是项。由此，可以归纳定义合式公式如下：基始条件：任何原子句都是合式公式。归纳条件：1.若A式合式公式，则¬A是合式公式。2.若A和B是合式公式，则(A→B),(A∧B),(A∨B),(A←→B)是合式公式。113.若A(t)是包括一个项t的合式公式，v是在A(t)中不出现的变元，A(v)是取代A(t)中至少一处t后得到的公式，则(v)A(v)是合式公式。4.若v是某个体变元，A(v)是3中的公式，则($v)A(v)是合式公式。封闭条件：除去以上方式以外得到的公式，都不是合式公式。根据上面的规定，按3或者

6、4，(x)(Fx→Gx)或者($x)(Fx→Gx)即可视为由某Fa→Ga经过替换得到的合式公式。其中(x)即通常意义上的全称量词，($x)即通常意义上的存在量词。公式序列、推演和其他推导规则同命题逻辑中自然推演系统里的规定，此处不再详举。现在我们着重要了解的是其特殊的一阶推导规则。一共有四条规则，分别是全称消去UE，存在引入EI，全称引入UI，和存在消去EE，分别如下：UE和EI：($v)A(v)是一个公式，t是一个项，A(t)是用t取代A(v)中所有并且只是v出现后得到的公式，则给定(v)A(v)，按照UE，我们可以得到A(t)。类似地，若给定A(t)，我们可以得到($v)

7、A(v)。UI和EE：若A(e)是一个带A-名字e的合式公式，v是不出现在A(e)中的变元，A(v)是用v取代A(e)中所有并且只是e出现后得到的公式，则给定A(e)，并且e不在A(e)所依赖的假设中出现，那么按照UI，我们可以得到(v)A(v)。类似地，给定($v)A(v)，和以A(e)为假设由某个证明得到的一合式公式C，若e不在C中或C依赖的除A(e)外的其他假设中出现，那么按照EE，我们可以得到C。关于此的日常意义上的用合取、析取进行的解释，见Lemmon前面叙述。后面在对公式和推理进行真和有效性