知识要点-函数与方程

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1、第4讲函数与方程★知识梳理一、函数的零点方程的实数根又叫做函数的零点。方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点；②如果函数在区间上的图像是连续不断的，且有，则函数在区间上有零点。二、二分法1．如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间的中点；（3）计算：①若，则就是函数的零点；②若，则令（此时零点）；③若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精度

2、；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）-（4）★重、难点突破重点：函数零点的概念，掌握用二分法求函数零点的近似值难点：用二分法求函数的零点近似值重难点：1．函数零点的理解函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程根的个数就是函数的零点的个数，亦即函数的图像与x轴交点的个数变号零点与不变号零点①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点③若函数在区间上的图象是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。用二

3、分法求曲线交点的坐标要注意两个问题（1）曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为求方程的根（2）求曲线和的交点的横坐标，实际上就是求函数的零点，即求方程的根3．关于用二分法求函数的零点近似值的步骤须注意的问题：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②的值比较容易计算且；（2）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程根是等价的。对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即方程的根。★热点考点题型探析考点1零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点.[例1]求函数的零点.[解题思路]求函数的零点就是求方程的根[解析]令，∴∴，∴即函数的零点

4、为-1，1，2。[名师指引]函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。题型2：确定函数零点的个数.[例2]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数就是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)=lnx＋2x－6在定义域上连续单调递增，又有，所以函数f(x)=lnx＋2x－6只有一个零点。方法二：求函数f(x)=lnx＋2x－6的零点个数即是求方程lnx＋2x－6=0的解的个数即求的交点的个数。画图可知只有一个。[名师指引]求函数的零点是高考

5、的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3](2007·广东)已知a是实数,函数,如果函数在区间上有零点，求a的取值范围。[解题思路]要求参数a的取值范围，就要从函数在区间上有零点寻找关于参数a的不等式（组），但由于涉及到a作为的系数，故要对a进行讨论[解析]若,,显然在上没有零点,所以.令,解得①当时,恰有一个零点在上;②当，即时，在上也恰有一个零点.③当在上有两个零点时,则或解得或综上所求实数的取

6、值范围是或.[名师指引]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.②二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.[新题导练]1．（09年浙江五校联考）函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（）A．；B．；C．；D．[解析]B；依题意得（1）或（2）或（3）显然（1）无解；解（2）得；解（3）得又当时，它显然有一个正实数的零点，所以应选B2．（中山市09届统测）方程的实数解的个

7、数为_______[解析]2；在同一个坐标系中作函数及的图象，发现它们有两个交点故方程的实数解的个数为2考点2用二分法求方程的近似解[例4]（斗门一中09届模拟）利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…0.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间的（）.A.（0.6，1.0）；B.（1.4，1.8）；C.（1.8，2.2）；D.（2.6，3.0）[解

8、题思路]判断函数在各个区间两端点的符号[解析]由，，故排除A；由，，故排除B；由，，故可确定方程的一个根位于