高中数列通项公式求法及数列求和

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1、数列的综合应用　　　　　　　　　【教学目标】：　　1、掌握常见的求数列通项的一般方法；　　2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。【教学重难点】：　　1、掌握常见的求数列通项的一般方法；　　2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题　　3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来　　　解决.　　4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。【教学过程】知识要点梳理知识点一：求数列通项公式的一般求法1．公式法：　　①若数列是等差数列或等

2、比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.　　②若已知数列的前n项和公式，则。2．观察法：　　观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。　　（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号　　　　n之间的关系。　　（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。　　（3）项若正负相间，注意用或表示。3．累加法：　　利用恒等式求通项公式的方法；形如（为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项公式常用此法。4．累乘法：　　利用恒等式求通项公式的方法；形如的递推数列求通

3、项公式常用此法。5．转化法：　　通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：　　（1）把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为等差或者等比　　　　数列；　　（2）一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定　　　　系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得　　　　，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列　　　　的通项。6．数列通项与的关系法：　　如果已知条件是关于、的关系式，可利用，将条件转化为仅

4、含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。知识点二：数列应用题　　在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.1.复利的概念：　　银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.2.分期付款　　采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：　　(1)规定多少时间内付清全部款额；　　(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；　　(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规

5、定时间段内利息按复利计算.　　在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.规律方法指导求数列通项公式的常用方法总结：1．公式法：　　①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.　　②若已知数列的前n项和公式，则。2．观察法：　　观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。3．累加法：　　已知（可求和），求通项公式常用此法。4．累乘法：　　已知，求通项公式常用此法。5．转化法：　　通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一

6、个新数列为等差数列或等比数列。一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项。6．数列通项与的关系法：　　已知、的关系式，利用，将条件转化为仅含或的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。7．先猜后证法：　　根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。类型一：观察法求数列的通项公式　　1．写出下面各数列的一个通项公式：　　（1

7、）1，，，，，…；　　（2）2，11，101，1001，10001，…；　　（3）3，0，3，0，3，…；　　解析：　　（1）各项正负相间，可用表示；　　　　各项分母是2―1，22―1，23―1，……，　　　　∴数列的一个通项公式为。　　（2）各项为100+1，101+1，102+1，103+1，　　　　∴数列的一个通项公式。　　（3）因为1，0，1，0，……的通项为，　　　　∴3，0，3，0，……的通项公式为。　　总结升华：　　（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号

8、　　　　n之间的关系。　　（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。　　（3）项若正负相间，注意用或表示。　　举一反三：　　【变式】写出下面各数列的一个通项公式：　　（1），，，，…。　　（2）8，88，888，8888，88888，…　　【答案】　　（1），，，　　　　∴数列的通项公式为。　　（2）将数列改写为　　　　∴.类型二