集中力作用下有限厚无限大弹性体的解答及研究

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1、集中力作用下有限厚无限大弹性体的解答及研究胡正顶（中煤国际工程集团平顶山选煤设计研究院467000）摘要：圆柱面坐标系统下的题示问题，其解答已为本文所获得，结果为闭合形式的精确解答。文中引入了折叠摡念，不但扩展了变量及函数的个数，而且使本题的闭合形式的解答成为可能。在折叠概念之下，变量及函数显得十分清晰。当厚度趋于无限时，归结到集中力作用下半无限弹性体的布氏公式。文中用算例对底面为固定条件及平滑条件而顶面均为自由条件的两组边值问题，从各个角度进行了计算及分析，并与布氏公式的结果平行比较，以观察二者的差异及有限厚带来的特征。关键词：折

2、叠延伸界面翻译旋转平滑残缺引言集中力作用下半无限弹性体的计算,已于1885年由布希涅斯克（Boussinesq,J.V）所获得,用著名的布氏公式（简称Bou’s,下同）[4]表达。但当厚度有限而要考虑底面的边界条件时又如何呢?有限厚与无限厚之间,变形应力的分布又有些什么差异呢?前此,这些都是一些未知数。虽然可以直观地想像,当厚度较薄时,在圆心上作用一向下的集中力,附近的弹性体自然地往下沉陷,而远一些的地方又如何呢？是否竖向应力也应该与此对应，附近为压应力而远一些的地方则为拉应力？当厚度较大时又如何呢?…，对于这些问题,本文都可以给出

3、量值结果。圆柱面坐标系统中的函数,是一个庞大的函数体系，本文从所获得的函数中采取4个作研究之用。函数不多，但在折叠概念之下，已恰够应用。对于有限厚的弹性体，必须满足底面的边界条件，而不像无限厚时那样，在远端位移应力均取为零。这样，不但复杂性大大增加，而且必须保证当h®¥时，与h有关的量，通通为零，并且达到Bou’s。这是一个Bou’s的拓展问题，也是一个有限与无限之间的转换问题。1基本理论对于圆柱面坐标系统之轴对称情形（图1.1），当不存在体积力时拉密（G.Lame）方程为[1，2，3]Ñ2u-r-2u+1¶(er（1-2m）¶r

4、+eq+ez)=0Ñ2w+1¶(er（1-2m）¶z+eq+ez)=0(1.1)式中:w、u——竖向位移、水平位移函数，m——泊松（S.D.Poisson）系数，¶2¶¶2Ñ2=+r-1+,¶r2¶r¶z2er=¶u,eq=u,ez=¶w¶rr¶z.将形变代入（1.1）中，得到2(1-m)¶2¶¶2u1¶2w(+r-1-r-2)u++=01-2m¶r2¶r¶z21-2m¶r¶z(1.2)¶2¶2(1-m)¶2w1¶¶u(+r-1)w++(+r-1u)=0¶r2¶r1-2m¶z21-2m¶z¶r(1.2)中

5、前式可按w直接积分，后一式为u的一阶微分方程，经积分后得到w=-[2(1-m)D2u-¶2u]drdz+c+cz，（c=c=0）òò¶z2¶2w0101(1.3)0u=r-1{d-ò[ò((1-2m)Ñ2w+¶z2)rdr]dz+d1+d2r}，（d1=d2=0）(1.3)是w与u之间的关系式，如果一个确定了，则另一个也就确定了。当需要时，由一个可方便地求得对应的另一个，它们都满足下列方程（1.4）.对(1.3)第一式求导若干次，代入(1.2)之第二式中，以及对(1.3)之第二式求导若干次，代入(1.2)

6、之第一式中，经过若干变换，得到D2D2u=0Ñ2Ñ2w=0(1.4)式中：D2=Ñ2-r-2.用位移函数表达的应力通式为¶u¶wsz=x[m+mr-1u+(1-m)]¶r¶z(1.5)trz=1-2mx(¶u+¶w)2¶z¶r式中，sz、trz——z方向的正应力及rz方向的剪应力，x=E/(1+m)(1-2m),E——弹性模量.满足上述各式的位移函数及应力已经求得为w=r-1a+z2r-3a+zr-3b121u=r-1a-1-1r-rza+[(3-4m)rzr-3r+rz]a-3r+rb(1.6)-1-101-

7、3s=(1-2m)x{-zra+[2(1-m)zr2r-33-5-3z]a+(r1r-32-3z-5)b}z121trz=(1-2m)x{-rr-3a+[2(1-m)rr-3-3rz2r-5]a-3rzr-5b}121式中：r=，a、a、a、b——待定系数.r2+z20121可以指出，a、a代表的函数为有重函数，而b代表的函数为无重函数.将a代表的函数代入（1.3）1210第1式中，由于D2u=0，故w＝0，换句话说只有w＝0与u对应.还由（1.6）看到，r-1a不产生s、trz.0z平衡方程为2pòszrdr+

8、P=0¥0¥式中，P——集中力将sz代入得到(1.7)2p´(1-2m)xò{-zr-3a1+[2(1-m)zr-3-3z3r-5]a2}rdr+P=0即a=Oa1-1+mP21-2m2(1-2m)pE(1.8)Bou's中