函数与导数综合练习题

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1、函数与导数综合练习题题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征恒成立恒成立；参考例4；例1.已知函数，是的一个极值点．（Ⅰ）求的单调递增区间；（

2、Ⅱ）若当时，恒成立，求的取值范围．例2.已知函数的图象过点.（Ⅰ）若函数在处的切线斜率为，求函数的解析式；（Ⅱ）若，求函数的单调区间.例3.设。（1）求在上的值域；（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值范围。例4.已知函数图象上一点的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。例5.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.例6.已知函数，在时有极值0，则。例7.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数．（1）若函数在处有极值，

3、求的解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．答案：1、解：（Ⅰ）.∵是的一个极值点，∴是方程的一个根，解得.令，则，解得或.∴函数的单调递增区间为，.（Ⅱ）∵当时，时，∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.∴是在区间[1，3]上的最小值，且.若当时，要使恒成立，只需，即，解得.2、解：（Ⅰ）．由题意知，得．∴．（Ⅱ）．∵，∴．由解得或，由解得．……………10∴的单调增区间为：和；的单调减区间为：．……12分3、解：(1)法一:(导数法)在上恒成立.∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。法二:,复合函数求值域.法三:用双

4、勾函数求值域.(2)值域[0,1]，在上的值域.由条件,只须，∴.特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；4、解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令∴要使恒成立，只需，即（1）当时解得；（2）当时；（3）当时解得；综上所述所求t的范围是特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；5、解：（Ⅰ）令=0,得因为，所以可得下表：0+0-↗极大↘因此必为最大值,∴因此，，即，∴，∴（Ⅱ）∵，∴等价于，令，则问题就是

5、在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].6、11（特别说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）7、解：∵，∴由有，即切点坐标为，∴切线方程为，或……………………2分整理得或∴，解得，∴，∴（1）∵，在处有极值，∴，即，解得，∴……………………8分（2）∵函数在区间上为增函数，∴在区间上恒成立，∴，又∵在区间上恒成立，∴，即，∴在上恒成立，∴∴的取值范围是题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区

6、间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要

7、看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例8．已知函数，，且在区间上为增函数．（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．例9

8、.已知函数