高数高等数学下册复习提纲

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1、高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆）1.多元复合函数高阶导数∂z∂2z及.∂x∂y∂x例设z=f(sinx,cosy,ex+y),其中f具有二阶连续偏导数，求解∂z=f1′⋅cosx+f3′⋅ex+y，∂x∂2z∂2z′′′′′′′′==

2、[f12⋅(−siny)+f13⋅ex+y]cosx+ex+yf3′+[f32⋅(−siny)+f33⋅ex+y]ex+y∂y∂x∂x∂y析1）明确函数的结构(树形图)zuvwx+yxyxy，那么复合之后z是关于x,y的二元函数.根据结构这里u=sinx,v=cosy,w=e图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，按线相乘，“分线相加”.2）f1′,f3′是f1′(sinx,cosy,e相同，仍然是sinx,cosy,ex+yx+y),f3′(

3、sinx,cosy,ex+y)的简写形式，它们与z的结构的函数.所以f1′对y求导数为1∂f1′′′′′=f12⋅(−siny)+f13⋅ex+y.∂y所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.∂2z∂2z∂2z∂2z3）f具有二阶连续偏导数，从而连续，所以.,=∂y∂x∂x∂y∂y∂x∂x∂yy2∂2z),其中f具有二阶连续偏导数，求2.练1.设z=xf(2x,x∂x22.设z=f(2x−y)+g(esiny,x+y)其中f二阶可导，g具有二阶连续偏导数，x22求∂2z.∂x∂y2.多元函数极值例1.求函数f(x,y)=ex−y(

4、x2−2y2)的极值.解（1）求驻点.由fx(x,y)=ex−y(x2−2y2)+2xex−y=0,x−y22x−yfy(x,y)=−e(x−2y)−4ye=0得两个驻点(0,0)，(−4,−2)，（2）求f(x,y)的二阶偏导数fxx(x,y)=ex−y(x2−2y2+4x+2)，fxy(x,y)=ex−y(2y2−x2−2x−4y)，fyy(x,y)=ex−y(x2−2y2+8y−4)，（3）讨论驻点是否为极值点在(0,0)处，有A=2，B=0，C=−4，AC−B=−8<0，由极值的充分条件知2(0,0)不是极值点，f(0,0)=

5、0不是函数的极值；在(−4,−2)处，有A=−6e−2，B=8e−2，C=−12e，AC−B=8e2−2−4>0，而A<0，由极值的充分条件知(−4,−2)为极大值点，f(−4,−2)=8e−2是函数的极大值.析1）这是二元函数无条件极值问题.2）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导2数；第三步求出驻点的判别式AC−B，判断是否为极值点以及极大极小.22.将正数12分成三个正数x,y,z之和使得u=x3y2z为最大.解：令F(x,y,z)=xyz+λ(x+y+z−12)，则32Fx=3x2y2z+λ=0

6、,3Fy=2xyz+λ=0,32Fz=xy+λ=0,x+y+z=12.解得唯一驻点(6,4,2)，故最大值为umax=6⋅4⋅2=6912.32析1）题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成F(x,y,z)=3lnx+2lny+lnz+λ(x+y+z−12).2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式xxxyy+++++zxxxyyx3y2z=27⋅⋅⋅⋅4⋅⋅⋅z≤27⋅433322333226=27⋅4⋅26=6912.方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具

7、有一般性.3.求函数z=x2+y2在圆(x−62)2+(y−2)2≤9上的最大值与最小值.解先求函数在圆内部可能的极值点.令zx=2x=0,zy=2y=0解得点(0,0)，而z(0,0)=0.再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数F(x,y)=x2+y2+λ[(x−2)2+(y−2)2−9]，Fx=2x+2λ(x−2)=0,Fy=2y+2λ(y−2)=0,22(x−2)+(y−2)=9.解之得(525222525222,),(−,−)，而z(,)=25,z(−,−)=1.222222223比较z(0,0),z(525222,

8、),z(−,−)三值可知，在圆(x−2)2+(y−2)2≤92222上函数最大值为z=25，最小值为z=0.析1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和