一种求解大规模优化问题的三目标筛选内点算法

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1、大规模非线性优化问题的一种三目标过滤内点算法摘要：本文以Fletcher和Leyffer提出的基本过滤方法为基础，根据内点法的特点提出了一种三目标线性搜索过滤内点算法。新算法根据内点算法的KKT条件，将可行性，稳定性，以及辅助性作为搜索步长的目标，以等式约束违反量，障碍目标函数和辅助条件作为过滤器选项，计算搜索步长。该方法相对于基本过滤方法，可以获得更大的搜索步长，从而达到快速收敛的目的，并且能够获得更好的收敛性。数值测试的结果证明了提出方法的鲁棒性和有效性。1．引言基本过滤方法是求解大规模非线性优化问题中迭代步长的一种方法。它首先是由Fletcher和Leyffer[1

2、]提出的，这种方法通过构造过滤器来选择试探迭代，而且能够加强算法从任意点开始的全局收敛性。在过滤方法中，非支配的概念（来自于多目标优化）被引入进来，并且通过它进行判断是否接受试探点，从而使得过滤方法取代了价值函数方法。自从过滤方法在1997年提出后，它已经被应用到SLP算法[2]和SQP算法[3][4]。内点算法作为一种有效的求解大规模不等式约束问题的算法，并且是SQP方法的有效替代方法，成为优化问题的一个研究热点。它相对于SQP方法最大的区别在于其将不等式约束通过障碍函数的方法合并到目标函数中，从而避免了积极约束的选取。由于特殊的不等式处理方式，内点算法的KKT条件相对

3、于SQP算法的KKT条件增加了辅助性条件。由于内点算法的有效性和快速性，因此过滤方法也被引入到了内点算法中。Benson,Shanno和Vanderbei[5]提出了障碍过滤方法和Markov过滤方法，并将其应用到了内点算法中，同时指出了过滤方法在内点算法中相对于价值函数方法的有效性。Ulbrich[6]将过滤方法应用到信赖域原-对偶内点算法，并结合内点算法的特点按照扰动最优性条件来选取步长。但是该方法为了适应基本滤波算法的两目标构架，将扰动最优性条件中的辅助性条件并入到约束违反项之中进行计算，因此在一定程度上影响了算法的性能。Wachter和Biegler[7]提出了线

4、性搜索过滤方法构架，并将其应用到了SQP算法和内点算法，但是他们提出的过滤方法是一种通用方法，并未结合内点算法的特点。综上所述，由于大多数过滤内点算法仅考虑了可行性和稳定性[5][7]，忽略了辅助性对算法性能的影响，所以本文提出了一种三目标过滤方法。该方法充分考虑内点算法的特点，从内点算法的KKT条件出发，分别以可行性，稳定性和辅助性为作为选择步长的目标，以障碍目标函数，等式约束违反，辅助条件违反为过滤项，从而达到快速收敛的目的。除此以外，Maratos效应是约束优化中在转换为无约束优化时出现的超线性收敛步长不可接受现象，因此我们应当在保证收敛的前提下尽可能地接受步长为1

5、的步长因子[8]。三目标过滤方法相对于基本过滤方法，对于步长的接受条件更弱，因而更有利于避免Maratos效应，从而达到快速收敛的目的。1．原-对偶内点算法本文研究的问题可以描述为(1a)subjectto(1b)(1c)其中和是在开集上的二次连续可导的函数。引入障碍项后：,(2a),(2b)其中是正数（障碍参数）。原-对偶内点法是基于将牛顿法应用于扰动一阶最优性条件（KKT条件）的方法，因此原问题的KKT条件可以写为（可行性）(3)（稳定性）(4)(辅助性)(5)，(6)其中，是拉格朗日乘子，和分别是的梯度和的雅克比矩阵，是以为对角量的对角阵。我们将KKT方程的(5)项

6、进行扰动，可以得到(7)其中。在算法过程中，我们取，其中是中心参数，并且(8)根据KKT条件，在我们的过滤算法中，很自然的我们可以定义可行性，稳定性和辅助性的对应项。因此我们定义可行性量度(9)稳定性量度(10)辅助性量度(11)分别作为过滤器的各项。对于KKT条件（7），通过牛顿法我们可以得到满足条件的点。相对应的牛顿系统可以写为：(12)当通过(12)求得搜索方向时，为了获得下一个迭代点：(13)步长必须确定。三目标过滤方法正是求取迭代步长的方法，这种方法将在下一节陈述。3.三目标过滤方法3.1基本过滤方法对于非线性数学规划问题（1），问题的解可以看作是由两个相互竞争

7、的目标组成的：最小化可行性度量和最小化目标函数。因此，问题（1）可以转化为两目标优化问题。通过罚函数的方法来组合两个目标是常用的方法，而Fletcher和Leyffer[1]提出了基本过滤方法从而将约束违反和目标函数的下降同时考虑，并定义了一个过滤器来处理这两个目标，并取得了很好的效果。过滤器在迭代过程中起到收集以前迭代信息的作用，同时作为选择新迭代点的标准。在基本过滤方法中，一个过滤器是由点对组成，它与点对应相关，并要求在过滤器中任何项不被其他点支配。其中支配的概念是基本过滤方法的核心，起到选择存储信息和选择新点的标准的作用